Bài tập 7.52 trang 43 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp (ABCD)$, biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $SA = a\sqrt{2}$
a) Chứng minh rằng $(SAC)\perp (SBD)$ và $(SAD)\perp (SCD).$
b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh rằng $(ACF)\perp (SBC)$ và $(AEF)\perp (SAC).$
c) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài Làm:
a) Ta có: $BD\perp AC, SA\perp (ABCD)$
$=> SA\perp BD$
$=> BD\perp (SAC)$
Mà mặt phẳng (SBD) chứa đường thẳng BD, do đó $(SBD)\perp (SAC).$
Ta có: $CD\perp AD, CD\perp SA, $
$=> CD\perp (SAD)$
Mà mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD, do đó $(SCD)\perp (SAD).$
b) Ta có: $AD\perp (SAB)$
$=> AD\perp SB,$
mà $SB\perp DF$
$=> SB\perp (ADF), $
$=> SB\perp AF. $
Ta lại có $BC\perp (SAB)$
$=> BC\perp AF, $
$=> AF\perp (SBC)$
Mà mặt phẳng (ACF) chứa đường thẳng AF nên $(ACF)\perp (SBC).$
Vì $AF\perp (SBC)$ nên $AF\perp SC. $
Tương tự, ta có $AE\perp (SCD)$ nên $AE\perp SC, $
$=> SC\perp (AEF),$
Mà mặt phẳng (SAC) chứa đường thẳng SC nên $(AEF)\perp (SAC).$
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, kẻ $OH\perp SC$ tại H,
Mà $BD\perp (SAC)$ nên $OH\perp BD$
=> OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC, hay $d(BD, SC) = OH.$
Có $\Delta CHO\sim \Delta CAS$ nên $\frac{OC}{CS}=\frac{OH}{AS}$
$=> OH=\frac{AS.OC}{CS}=\frac{a}{2}$
Vậy $d(BD, SC)=\frac{a}{2}$
