Bài tập 1.59 trang 29 SBT toán 11 tập 1 kết nối: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) $y=sinx+sin(\frac{\pi}{3}-x)$
c) $y=sin^{4}x+cos^{4}x$
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Bài Làm:
a) Ta có $y=sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})$
Vì $-1\leq sin(x-\frac{\pi}{4}) \leq 1$ nên $\sqrt{2} \leq \sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$, với mọi $x\in \mathbb{R}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$, đạt được khi $sin(x-\frac{\pi}{4})=1$
$ \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
$ \Leftrightarrow x = \frac{3\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$, đạt được khi $sin(x-\frac{\pi}{4})=-1$
$ \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
$ \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
b) Ta có $y=sinx+sin(\frac{\pi}{3}-x)=2sin\frac{x+\frac{x}{3}-x}{2}cos\frac{x-\frac{x}{3}+x}{2}$
$=2sin\frac{\pi}{6}cos(x-\frac{\pi}{6})=2.\frac{1}{2}.cos(x-\frac{\pi}{6})=cos(x-\frac{\pi}{6})$
Ta có $-1 \leq cos(x-\frac{\pi}{6}) \leq 1 \forall x \in \mathbb{Z}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $cos(x-\frac{\pi}{6})=1 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi $cos(x-\frac{\pi}{6})=-1 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=\pi+k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x =\frac{7\pi}{6}+k2\pi ( k \in \mathbb{Z})$
c) Ta có $y=sin^{4}x+cos^{4}=(sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}xcos^{2}x$
$=1-2(sinxcosx)^{2}=1-2.(\frac{sin2x}{2})^{2}=1-\frac{1}{2}sin^{2}2x$
$=1-\frac{1}{2}.\frac{1-cos4x}{2}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}cos4x$
$=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x$
Vì $-1 \leq cos4x \leq 1$ nên $-\frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}cos4x \leq \frac{1}{4}$, do đó $\frac{3}{4}-\frac{1}{4} \leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x \leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4}$
hay $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4}cos4x \leq 1 \forall x \in \mathbb{R}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $cos4x =1 $
$\Leftrightarrow 4x =k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{2}$, đạt được khi $cos4x=-1$
$ \Leftrightarrow 4x =\pi + k2\pi ( k\in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} (k\in \mathbb{Z})$
d) Ta có y = cos2x + 2cos x − 1
$=(2cos^{2}x-1)+2cosx-1$
$=2cos^{2}x+2cosx-2$
$=2t^{2}+2t-2$ với $t=cosx \in [-1;1]$
Xét hàm số $y=2t^{2}+2t-2$ trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.
Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi $cosx =1 \Leftrightarrow x =k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\frac{5}{2}$, đạt được khi $cosx=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
