Câu 5: Trang 121 - SGK Hình học 11
Tứ diện \(ABCD\) có hai mặt \(ABC\) và \(ADC\) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a, AC = b\). Tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) có \(CD = a\).
a) Chứng minh các tam giác \(BAD\) và \(BDC\) đều là tam giác vuông
b) Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh \(IK\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\).
Bài Làm:
a)
- Chứng minh $\Delta BAD$ vuông
Theo giả thiết: \((ABC) ⊥ (ADC)\) mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \(AC\).
Ta lại có \(BA ⊂ (ABC)\) và \(BA⊥ AC\) nên \(BA⊥(ADC)\)
Vì \(AB\subset (ADC) ⇒ BA⊥AD ⇒ ΔBAD\) vuông tại \(A\)
- Chứng minh: $\Delta BCD$ vuông
\(\left. \matrix{BA \bot (ADC) \hfill \cr AD \bot DC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BD \bot DC\)
(Định lí 3 đường vuông góc)
\(⇒ ΔBDC\) vuông tại \(D\)
b) Chứng minh: $IK$ là đoạn vuông góc chung của $AD,BC$
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CAD$ có:
$\widehat{A}=\widehat{D}$
$AC$ chung
$AB=CD=a$
=> $\Delta ABC=\Delta CAD(c-g-c)$
=> $BI=CI$ (hai trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
=> $\Delta IBC$ cân tại $I$
có: $K$ là trung điểm $BC$ => $IK$ đồng thời là đường cao trong $\Delta IBC$
=> $IK \perp BC$ (1)
Chứng minh tương tự, ta có: $\Delta ABC=\Delta DCB(c-g-c)$
=> $AK=DK$
=> $\Delta KAD$ cân tại $K$
có: $I$ là trung điểm $AD$ => $KI$ đồng thời là đường cao trong $\Delta KAD$
=> $KI \perp AD$ (2)
Từ (1) (2) => $KI$ là đoạn vuông góc chung của $AD.BC$.