IV. BÀI TẬP
Bài tập 1 trang 103 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và T là giao điểm của AC và BD (Hình 30).
Chứng minh:
a) $\widehat{TAD}=\widehat{TBC}$; $\widehat{TDA}=\widehat{TCB}$.
b) TA = TB, TD = TC.
c) MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.
Bài Làm:
a. Xét 2 tam giác ADC và BCD có:
- AC = BD ( 2 đường chéo của hình thang cân)
- AD = BC (ABCD là hình thang cân)
- DC chung
=> 2 tam giác ADC và BCD bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.
=> $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$ hay $\widehat{TAD}=\widehat{TBC}$. (đpcm)
Xét 2 tam giác ADB và BCA có:
- AB chung
- AD = BC (ABCD là hình thang cân)
- DB = AC
=> 2 tam giác ADB và BCA bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.
=> $\widehat{BDA}=\widehat{ACB}$ hay $\widehat{TDA}=\widehat{TCB}$ (đpcm)
b. Xét 2 tam giác ATD và BTC có:
- $\widehat{TDA}=\widehat{TCB}$
- 2 góc đối $\widehat{ATD}=\widehat{BTC}$
=> $\widehat{TAD}=\widehat{TBC}$ (1)
AD= BC
$\widehat{CAD}=\widehat{DBC}$ (2 tam giác ADC = BDC theo trường hợp c-c-c)
Kết hợp với (1)
=> 2 tam giác ATD và BTC bằng nhau (g-c-g)
=> TA = TB (đpcm)
Lại có :
AC = BD => AC - AT = BD - BT=> TC = TD (đpcm)
c. M là trung điểm của AB => MA = MB
Xét 2 tam giác AMT và BMT có:
- MA = MB
- MT chung
- AT = BT
=> 2 tam giác AMT và BMT bằng nhau (c-c-c)
=> $\widehat{AMT}=\widehat{BMT}$ mà $\widehat{AMT} + \widehat{BMT}$ = $180^{\circ}$ (2 góc bù nhau)
=> $\widehat{AMT}=\widehat{BMT}$ = $90^{\circ}$
=> MT là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)
Tương tự với 2 tam giác DTN và CTN (bằng nhau theo trường hợp c-c-c)
=> NT là đường trung trực của đoạn thẳng CD hay MN là đường trung trực của đoạn thẳng CD (3)
Từ (2) và (3) => đpcm
