Bài tập 5 trang 104 sgk Toán 8 tập 1 CD: Hình 33a là mặt cắt đứng phần chứa nước của một con mương (Hình 32) khi đây nước có đạng hình thang cân. Người ta mô tả lại bằng hình học mặt cắt đứng của con mương đó ở Hình 33b với BD // AE (B thuộc AC). H là hình chiếu của D trên đường thắng AC.
a) Chứng minh các tam giác BCD, BDE, ABE là các tam giác đều.
b) Tính độ dài của DH, AC.
c) Tính diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước.
Bài Làm:
a.
- Theo giả thiết BD // AE nên:
$\widehat{BDE}= 60^{\circ}$ (2 góc đồng vị)
BC//ED nên :
2 góc so le trong $\widehat{DBC} $ = $\widehat{BDE}= 60^{\circ}$ (1)
$\widehat{BCD}= 60^{\circ}$ (tính chất 2 góc so le trong)
Xét tam giác BCD có 2 góc $\widehat{BCD}$= $\widehat{DBC} $ = $60^{\circ}$ nên góc còn lại $\widehat{BDC} $cũng bằng $60^{\circ}$. Hay tam giác BCD là tam giác đều.
- $\widehat{EDB}$= $180^{\circ}$ - $60^{\circ}$ - $\widehat{DBC} $ = $180^{\circ}$ - $60^{\circ}$ - $60^{\circ}$ = $60^{\circ}$
Xét 2 tam giác BDE và BDC có:
BD chung
$\widehat{EDB}$ = $\widehat{BDC} $
ED = DC (2m)
=> 2 tam giác BDE và BDC bằng nhau mà tam giác BCD là tam giác đều nên tam giác BED cũng là tam giác đều.
- Theo giả thiết BD // AE nên:
$\widehat{BED}$ = $\widehat{ABE} $ (2 góc so le trong)
Xét 2 tam giác ABE và DEB có:
$\widehat{BED}$ = $\widehat{ABE} $
EB chung
$\widehat{DBC} $ = $\widehat{BDE}= 60^{\circ}$ (1)
=> 2 tam giác ABE và DEB bằng nhau mà tam giác DEB là tam giác đều => ABE cũng là tam giác đều.
b. Vì tam giác ABE là tam giác đều nên AB = AE = 2m
Vì tam giác BDC là tam giác đều nên BC = CD = 2m.
=> AC = AB+BC = 2+2 = 4m
Vì H là hình chiếu của D trên đường thắng AC nên HB = HC = $\frac{1}{2}$ BC = 1m
Xét tam giác vuông CHD có: HD = $\sqrt{DC^{2}-HC^{2}} = \sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$ (m)
c. Diện tích tam giác đều DBC = $\frac{1}{2}.BC.HD = \frac{1}{2}.2.\sqrt{3}=\sqrt{3}(m^{2})$
=> Diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước là: 3.$\sqrt{3}(m^{2})$
