Bài tập 8 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.
a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau
b) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.
Bài Làm:
a) Tứ giác ABCD có:
AD và BC cắt nhau tại M (gt);
M là trung điểm của BC (gt)
M là trung điểm của AD (D đối xứng với A qua BC)
Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành
Mà AD⊥BC (vì D đối xứng với A qua BC)
Nên hình bình hành ABDC là hình thoi.
b) Tứ giác OAMB có:
OM và AB cắt nhau tại E (gt);
E là trung điểm của OM (gt)
E là trung điểm của AB (gt)
Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành
Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{AMB}=90^{\circ},\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$
Do đó AOB và MBO là tam giác vuông.
Xét tam giác AOB và MBO ta có:
AO = MB (OAMB là hình bình hành)
$\widehat{AOB}=\widehat{MBO}=90^{\circ}$
OB chung
Suy ra $\Delta AOB=\Delta MBO$ (c.g.c)
c) Ta có ME=$\frac{1}{2}AB$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Và AE=$\frac{1}{2}AB$ (E là trung điểm của AB)
⇒EM=EA=$\frac{1}{2}AB$ (1)
Ta có MF=$\frac{1}{2}AC$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Và AF=$\frac{1}{2}AC$ (F là trung điểm của AC)
⇒MF=AF=$\frac{1}{2}$AC(2)
AB=AC(ΔABCcân tại A) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra EM = EA = MF = AF
Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.
