Khám phá 3 trang 75 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Cho tứ giác ABCD có P là giao điểm của hai đường chéo. Giải thích tại sao AB // CD và AD // BC trong mỗi trường hợp sau:
Trường hợp 1: AB = CD và AD = BC (Hình 7a).
Trường hợp 2: AB // CD và AB = CD (Hình 7b).
Trường hợp 3: AD // BC và AD = BC (Hình 7c).
Trường hợp 4: $\widehat{A}=\widehat{C},\widehat{B}=\widehat{D}$ (Hình 7d).
Trường hợp 5: PA = PC, PB = PD (Hình 7e).
Bài Làm:
- Hình 7a)
Xét $\Delta $ABC và $\Delta $CDA có:
AB = CD; BC = DA; AC là cạnh chung
Do đó $\Delta $ABC = $\Delta $CDA (c.c.c)
Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ (các cặp góc tương ứng).
Vì $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.
Vì $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC
- Hình 7b)
Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.
Xét $\Delta $ABC và $\Delta $CDA có:
AC là cạnh chung; $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ ; AB = CD
Do đó $\Delta $ABC = $\Delta $CDA (c.g.c)
Suy ra $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.
- Hình 7c)
Ta có: $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.
Xét $\Delta $ABC và $\Delta $CDA có:
AC là cạnh chung; $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$; BC = AD
Do đó $\Delta $ABC = $\Delta $CDA (c.g.c)
Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.
- Hình 7d)
Xét tứ giác ABCD ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)
Mà $\widehat{A}=\widehat{C},\widehat{B}=\widehat{D}$ nên ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{A}+\widehat{B}=360^{\circ}$
Suy ra $\widehat{A}+\widehat{B}=\frac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ}$ và $\widehat{A}+\widehat{D}=180^{\circ}$
Do đó AD // BC và AB // CD.
- Hình 7e)
Xét $\Delta $PAB và $\Delta $PCD có:
PA = PC; $\widehat{APB}=\widehat{CPD}$ (đối đỉnh); PB = PD
Do đó $\Delta $PAB = $\Delta $PCD (c.g.c)
Suy ra $\widehat{BAP}=\widehat{DCP}$ (hai góc tương ứng)
Hay $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.
Tương tự ta cũng chứng minh được $\Delta $PAD = $\Delta $PCB (c.g.c)
Suy ra $\widehat{DAP}=\widehat{BCP}$ (hai góc tương ứng)
Hay $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.
