4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a) Đạo hàm của hàm số y = sin x
Hoạt động 5 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x
a) Với$h\neq 0$, biến đổi hiệu $sin(x + h)- sin x$ thành tích.
b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin h}{h}=1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số $y=sin x$ tại điểm $x$ bằng định nghĩa
Bài Làm:
a) $sin(x+h) - sin(x) = 2cos(\frac{x+h+x}{2})sin(\frac{x+h-x}{2}) = 2cos(x+\frac{h}{2})sin(\frac{h}{2})$
b) Áp dụng định nghĩa, ta có:
$y'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x+h) - sin(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2cos(x+\frac{h}{2})sin(\frac{h}{2})}{h}$
Chia tử và mẫu cho $2sin(\frac{h}{2})$, ta có:
$y'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x+\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} \cdot \frac{1}{sin(\frac{h}{2})} \cdot sin(\frac{h}{2}) = \lim_{h \to 0} cos(x+\frac{h}{2}) \cdot \frac{1}{\frac{h}{2}} \cdot \frac{sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}$
Áp dụng kết quả của đẳng thức giới hạn, ta có:
$y'(x) = cos(x) \cdot 1 = cos(x)$