c) Đạo hàm của hàm số lôgarit
Hoạt động 10 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit
a) sử dụng giới hạn $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}=1$ và đẳng thức $ln(x+h)-ln{x}=ln(\frac{x+h}{x})=ln(1+\frac{h}{x})$ tính đạo hàm của hàm số $y =Inx$ tại điểm $x > 0$ bằng định nghĩa.
b) Sử dụng đẳng thức $\log_{a}x=\frac{lnx}{lna}(0< a\neq 1)$, hãy tính đạo hàm của $y=\log_{a}x$
Bài Làm:
a) $y = Inx$
$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{In(x+h)-Inx}{h}$
Sử dụng đẳng thức $ln(1+t)=t+o(t)$ khi $t\rightarrow 0$, ta có:
$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{h}{x})}{h}$
Áp dụng giới hạn $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}=1$, ta có:
$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}$
$y' = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}\cdot\frac{1}{x}$ (với $t = \frac{h}{x}$)
$y' = \frac{1}{x}$
b) $y=\log_{a}x=\frac{lnx}{lna}$
$y' = \frac{d}{dx}(\frac{lnx}{lna})$
$y' = \frac{1}{lna}\cdot\frac{d}{dx}(lnx)$
Sử dụng kết quả đã tính ở câu a), ta có:
$y' = \frac{1}{lna}\cdot\frac{1}{x}$
$y' = \frac{1}{x\cdot lnax}$