Bài tập 5. Cho $A=\{{{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A.
Bài Làm:
Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử ($1\le k\le 5$) là một tổ hợp chập k của A.
- Tập con số lẻ 1 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5
$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{1}$
- Tập con số lẻ 3 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5
$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{3}$
- Tập con số lẻ 5 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5
$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{5}$
$\Rightarrow$ Số tập con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng: $C_{5}^{1}$ + $C_{5}^{3}$ + $C_{5}^{5}$ (1)
- Tập con số chẵn 0 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5
$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{0}$
- Tập con số chẵn 2 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5
$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{2}$
- Tập con số chẵn 4 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5
$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{4}$
$\Rightarrow$ Số tập con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A bằng: $C_{5}^{0}$ + $C_{5}^{2}$ + $C_{5}^{4}$ (2)
Có: $C_{5}^{1}$ = $C_{5}^{4}$ ; $C_{5}^{3}$ = $C_{5}^{2}$ ; $C_{5}^{5}$ = $C_{5}^{0}$ (3)
Từ (1); (2) và (3) $\Rightarrow$ số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A (đpcm)