Lý thuyết trọng tâm toán 10 chân trời bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Tổng hợp kiến thức trọng tâm toán 10 chân trời sáng tạo bài 1 Dấu của tam thức bậc hai. Tài liệu nhằm củng cố, ôn tập lại nội dung kiến thức bài học cho học sinh dễ nhớ, dễ ôn luyện. Kéo xuống để tham khảo

CHƯƠNG VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. TAM THỨC BẬC HAI

HĐKP1.  

HĐKP1.

a) Biểu thức y = f(x) = -x$^{2}$ + x + 3 được biểu diễn trong Hình 1 là đa thức bậc hai.

b) Có: f(2) = −2$^{2}$ + 2 + 3 = 1 > 0

Vậy f(2) mang dấu dương. 

=> Kết luận:

Đa thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

* Lưu ý:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0). Khi thay x bằng giá trị x$_{0}$ vào f(x), ta được f(x$_{0}$) = a x$_{0}^{2}$ + bx$_{0}$ + c, gọi là giá trị của tam thức bậc hai tại x$_{0}$.

+ Nếu f(x$_{0}$) > 0 thì ta nói f(x) dương tại x$_{0}$.

+ Nếu f(x$_{0}$) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x$_{0}$.

+ Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm)trên khoảng hoặc đoạn đó.

Ví dụ 1:  SGK – tr7.

Thực hành 1:

a) Biểu thức f(x) = −2x$^{2}$ + x - 1 là một tam thức bậc hai.

f(1) =2.1$^{2}$ + 1−1 = 2 > 0 

⇒ f(x) dương tại x =  1

b) Biểu thức g(x) =−x$^{4}$ + 2x$^{2}$ + 1 không là tam thức bậc hai.

c) h(x)= −x$^{2}$ +  $\sqrt{2}$x −3 là tam thức bậc hai. 

h(1) = −1$^{2}$ + $\sqrt{2}$.1 – 3 

= −4 + 2 $\approx $ -2,6 < 0 

=> h(x) âm tại x = 1.

Kết luận:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0). Khi đó:

+  Nghiệm của phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c = 0 là nghiệm của f(x).

+ Biểu thức ∆ = b$^{2}$ – 4ac và ∆'= ($\frac{b}{2}$)$^{2}$- ac  lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x)

Ví dụ 2: SGK – tr7

Thực hành 2:

a) Tam thức bậc hai  y=f(x)=2x$^{2}$-5x+2 có : 

Δ=(-5)$^{2}$-4.2.2=9 >0

f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

x$_{1}$=$\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2.2}$=2 và x$_{2}$=$\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2.2}$=12 

b) Tam thức bậc hai  y=g(x)=-x$^{2}$+6x-9 có : 

Δ=(6)$^{2}$-4.(-1).(-9)=0 

=> g(x) có nghiệm kép là: 

x$_{1}$=x$_{2}$=$\frac{-6}{2.(-1)}$=3

c) Tam thức bậc hai  y=h(x)=4x$^{2}$-4x+9 có : 

Δ=(-4)$^{2}$-4.4.9=-128 < 0 

=> g(x) vô nghiệm. 

2. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

HĐKP2.  

+ Hình a:

HĐKP2.

 y=f(x)=-x$^{2}$+2x-2 

Δ<0 ; f(x) vô nghiệm

Có a = -1 < 0; f(x) < 0, mọi x∈R

+ Hình b: 

HĐKP2.

y=f(x)=-x$^{2}$+2x-1.

Δ=0;  f(x)  có nghiệm kép  x$_{1}$ = x$_{2}$ = 1

Có a =  -1 <0; f(x) <0, mọi x∈R \{1}

+ Hình c:

HĐKP2.

y=f(x)=-x$^{2}$+2x+3

Δ>0 ; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x$_{1}$ = -1 và x$_{2}$ = 3.

Có: a = -1 < 0; f(x) < 0  khi x∈(-∞;- 1)U(3;+ ∞) .

+ Hình d:

HĐKP2.

y=f(x)=x$^{2}$+6x+10

Δ<0 ; f(x) vô nghiệm.

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R

+ Hình e:

HĐKP2.

y=f(x)=x$^{2}$+6x+9

Δ=0 ; f(x) có nghiệm kép  x$_{1}$ = x$_{2}$ = -3

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R \{-3}

Hình g: 

HĐKP2.

y=f(x)=x$^{2}$+6x+8

Δ>0; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x$_{1}$ = -4 và x$_{2}$ = -2.

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 khi x∈(-∞;- 4)U(-2;+∞)

=> Kết luận:

Cho tam thức bậc hai f(x) =ax$^{2}$ + bx + c (a $\neq $ 0)

+ Nếu ∆ <0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

+ Nếu ∆ =0 và x$_{0}$ = -$\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x$_{0}$ .

+ Nếu ∆ >0 và x$_{1}$; x$_{2}$ là hai nghiệm của f(x) (x$_{1}$ < x$_{2}$) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x$_{1}$; x$_{2}$); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; x$_{1}$) ; (x$_{2}$; +∞).

* Chú ý:

a) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ +bx+c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ∆ ;

Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;

Bước 4: Xác định dấu của f(x).

Ví dụ 3: SGK – tr9

Thực hành 3.

a) f(x)=2x$^{2}$-3x-2 có: =25 > 0, hai nghiệm phân biệt là  x$_{1}$ = -$\frac{1}{2}$ và x$_{2}$ = -2.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Thực hành 3.

Vậy f(x) dương trong khoảng (-∞;  -$\frac{1}{2}$)U(-$\frac{1}{2}$ ; +∞) và âm trong khoảng (-$\frac{1}{2}$ ; 2). 

b) g(x)=-x$^{2}$+2x-3 có: Δ=-8 < 0 và a = -1 < 0.

Vậy g(x) âm với mọi x∈R.

Vận dụng:

Vận dụng:

y=h(x)=-0,006x$^{2}$+1,2x-30 

có: Δ=1825>0 hai nghiệm phân biệt là:

x$_{1}$=$\frac{-1,2+\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\frac{-3}{250}}$=100-50$\sqrt{2}$ 

x$_{2}$=$\frac{-1,2-\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\frac{-3}{250}}$=100+50$\sqrt{2}$ 

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vận dụng:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu khi x∈(100-50$\sqrt{2}$;100+50$\sqrt{2}$) và thấp hơn mặt cầu khi x∈(-∞; 100-50$\sqrt{2}$)U(100+50$\sqrt{2}$;+ ∞ )

Xem thêm các bài Giải Toán 10 tập 2 chân trời sáng tạo, hay khác:

Xem thêm các bài Giải Toán 10 tập 2 chân trời sáng tạo được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 | Để học tốt Lớp 10 | Giải bài tập Lớp 10

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 10, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 10 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 10 - Kết nối tri thức

Giải sách giáo khoa

Giải sách bài tập