Lý thuyết trọng tâm toán 10 chân trời bài 1: Tọa độ của vectơ

CHƯƠNG IX. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

HĐKP1:

+ Vectơ $\underset{i}{\rightarrow}$ có:

• độ lớn bằng 1

• phương: nằm ngang

• chiều: cùng chiều với chiều dương trục hoành

+ Vectơ $\underset{j}{\rightarrow}$ có:

• độ dài bằng 1

• phương: thẳng đứng

• chiều: cùng chiều với chiều dương trục tung

=> Độ lớn của $\underset{i}{\rightarrow}$ bằng độ lớn của $\underset{j}{\rightarrow}$, phương và chiều của hai vectơ vuông góc với nhau.

Kết luận:

• Trục tọa độ

Trục tọa độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O (điểm gốc) và một vectơ $\underset{e}{\rightarrow}$ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.

Ta kí hiệu trục đó là (O; $\underset{e}{\rightarrow}$).

• Hệ trục tọa độ:

Hệ trục tọa độ (O; $\underset{i}{\rightarrow}$; $\underset{j}{\rightarrow}$) gồm hai trục (O; $\underset{i}{\rightarrow}$) và (O;$\underset{j}{\rightarrow}$) vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O;$\underset{i}{\rightarrow}$) được gọi là trục hoành và kí hiệu Ox, trục (O; $\underset{j}{\rightarrow}$) được gọi là trục tung và kí hiệu Oy. Các vectơ $\underset{i}{\rightarrow}$ và $\underset{j}{\rightarrow}$ là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy. Hệ trục tọa độ (O; $\underset{i}{\rightarrow}$; $\underset{j}{\rightarrow}$) còn được kí hiệu là Oxy.

* Chú ý:

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy, hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

• Tọa độ của một vectơ

HĐKP2:

$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{OA}{\rightarrow}$=$\underset{OA_{1}}{\rightarrow}$+$\underset{OA_{2}}{\rightarrow}$=x$\underset{i}{\rightarrow}$+y$\underset{j}{\rightarrow}$

Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x; y) trong biểu diễn $\underset{a}{\rightarrow}$ = x.$\underset{i}{\rightarrow}$ + y.$\underset{j}{\rightarrow}$ được gọi là tọa độ của vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$, kí hiệu $\underset{a}{\rightarrow}$ = (x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$.

* Chú ý:

• $\underset{a}{\rightarrow}$ = (x; y) <=> $\underset{a}{\rightarrow}$ = x. $\underset{i}{\rightarrow}$ + y.$\underset{j}{\rightarrow}$

• Nếu cho $\underset{a}{\rightarrow}$ = (x; y) và b = (x'; y') thì

$\underset{a}{\rightarrow}$ = $\underset{b}{\rightarrow}$ <=> $\left\{\begin{matrix}x=x' & \\ y=y' & \end{matrix}\right.$

• Tọa độ của một điểm

HĐKP3:

$\underset{OM}{\rightarrow}$ = {x;y}

=> Trong mặt phẳng tọa độ, cho một điểm M tùy ý. Tọa độ vectơ $\underset{OM}{\rightarrow}$ được gọi là tọa độ của điểm M.

Nhận xét:

• Nếu $\underset{OM}{\rightarrow}$=(x;y) thì cặp số (x;y) là tọa độ của điểm M, kí hiệu M(x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M.

• M (x;y) <=> $\bar{OM}$=x$\underset{i}{\rightarrow}$+y$\underset{j}{\rightarrow}$

Chú ý: Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x$_{M}$ ; tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y$_{M}$. Khi đó ta viết M(x$_{M}$; y$_{M}$).

Ví dụ 1: SGK – tr 39

Thực hành 1.

a)

b) Do D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0) nên $\underset{OD}{\rightarrow}$ = (-1; 4), $\underset{OE}{\rightarrow}$ = (0; -3), $\underset{OF}{\rightarrow}$ = (5; 0)

c) $\underset{i}{\rightarrow}$ = (1; 0), $\underset{j}{\rightarrow}$ = (0; 1)

Vận dụng 1.

a) AB = DC = AC.cos 30$^{\circ}$ = 240.cos30$^{\circ}$ = 120$\sqrt{3}$ (km)

BC = AD = AC.sin30$^{\circ}$ = 240.sin30$^{\circ}$ = 120 (km)

b) $\underset{v}{\rightarrow}$ = 120$\sqrt{3} \underset{i}{\rightarrow}$ + 120$\underset{j}{\rightarrow}$

c) $\underset{v}{\rightarrow}$ = (120$\sqrt{3}$; 120)

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

HĐKP4:

a) $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ = a$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ + a$_{2} \underset{j}{\rightarrow}$ + b$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ + b$_{2} \underset{j}{\rightarrow}$ = (a$_{1}$1 + b$_{1}$)$\underset{i}{\rightarrow}$ + (a$_{2}$ + b$_{2}$)$\underset{j}{\rightarrow}$ 

$\underset{a}{\rightarrow}$ - $\underset{b}{\rightarrow}$ = a$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ + a$_{2}$j - b$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ - b$_{2} \underset{j}{\rightarrow}$ = (a$_{1}$ - b$_{1}$)$\underset{i}{\rightarrow}$ + (a$_{2}$ - b$_{2}$)$\underset{j}{\rightarrow}$

k$\underset{a}{\rightarrow}$ = k(a$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ + a$_{2} \underset{j}{\rightarrow}$) = ka$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ + ka$_{2} \underset{j}{\rightarrow}$

b) $\underset{a}{\rightarrow}$ . $\underset{b}{\rightarrow}$ = (a$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ + a$_{2} \underset{j}{\rightarrow}$)(b$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ + b$_{2} \underset{j}{\rightarrow}$) = a$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$. b$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ +a$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$. b$_{2} \underset{j}{\rightarrow}$ + a$_{2}$j. b$_{1} \underset{i}{\rightarrow}$ + a$_{2}$j. b$_{2} \underset{j}{\rightarrow}$

= a$_{1}$b$_{1} \underset{i}{\rightarrow}^{2}$+ a$_{1}$b$_{2} \underset{i}{\rightarrow}$$\underset{j}{\rightarrow}$ + a$_{2}$.b$_{1} \underset{i}{\rightarrow} \underset{j}{\rightarrow}$ + a$_{2}$b$_{2} \underset{j}{\rightarrow}^{2}$

= a$_{1}$b$_{1}$.1$^{2}$ + a$_{1}$b$_{2}$.0+ a$_{2}$.b$_{1}$.0 + a$_{2}$b$_{2}$.1$^{2}$ (vì $\underset{i}{\rightarrow} \perp  \underset{j}{\rightarrow}$)

= a$_{1}$b$_{1}$ + a$_{2}$b$_{2}$

⇒ Kết luận:

Cho hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$=(a$_{1}$; a$_{2}$), $\underset{b}{\rightarrow}$=(b$_{1}$; b$_{2}$) và số thực k. Khi đó:

1) $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ = (a$_{1}$ + b$_{1}$ ; a$_{2}$ + b$_{2}$);

2) $\underset{a}{\rightarrow}$ - $\underset{b}{\rightarrow}$ = (a$_{1}$ - b$_{1}$ ; a$_{2}$ + b$_{2}$);

3) k.$\underset{a}{\rightarrow}$ = (k.a$_{1}$ ; ka$_{2}$);

4) $\underset{a}{\rightarrow}$ . $\underset{b}{\rightarrow}$ = a$_{1}$ .b$_{1}$ + a$_{2}$ .b$_{2}$);

Ví dụ 2: SGK-tr41

Thực hành 2:

a) $\underset{m}{\rightarrow}$ + $\underset{n}{\rightarrow}$ = (-6 + 0; 1 - 2) = (-6; -1)

$\underset{m}{\rightarrow}$ - $\underset{n}{\rightarrow}$ = (-6 - 0; 1 + 2) = (-6; 3)

10m = (10. (-6); 10. 1) = (-60; 10)

-4$\underset{n}{\rightarrow}$ = (-4. 0; -4.(-2)) = (0; 8)

b) $\underset{m}{\rightarrow}$ . $\underset{n}{\rightarrow}$ = -6. 0 + 1. (-2) = -2

(10$\underset{m}{\rightarrow}$).(-4$\underset{n}{\rightarrow}$) = -60. 0 + 10. 8 = 80

 Vận dụng 2:

$\underset{v}{\rightarrow}$ + $\underset{w}{\rightarrow}$ = (10 +3,5; -8 + 0) = (13,5; -8)

3. ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTƠ

Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

HĐKP5:

Vì A(x$_{A}$; y$_{A}$), B(x$_{B}$; y$_{B}$) 

=> $\underset{OA}{\rightarrow}$ = {x$_{A}$; y$_{A}$); $\underset{OB}{\rightarrow}$ = (x$_{B}$; y$_{B}$)

Ta có: $\underset{AB}{\rightarrow}$ = $\underset{OB}{\rightarrow}$ - $\underset{OA}{\rightarrow}$ = (x$_{B}$ - x$_{A}$; y$_{B}$ - y$_{A}$)

Kết luận:

Cho hai điểm A (x$_{A}$; y$_{A}$); B(x$_{B}$; y$_{B}$). Ta có:

$\underset{AB}{\rightarrow}$ = (x$_{B}$ – x$_{A}$ ; y$_{B}$ – y$_{A}$)

Ví dụ 3: SGK-tr42

Thực hành 3: E (9; 9) ; F(8; -7); G(0;-6)

$\underset{FE}{\rightarrow}$ = (x$_{E}$ - x$_{F}$; y$_{E}$ - y$_{F}$) = (9 - 8; 9 - (-7)) = (1; 16)

$\underset{FG}{\rightarrow}$ = (x$_{G}$ - x$_{F}$; y$_{G}$ - y$_{F}$) = (0 - 8; -6 -(-7)) = (-8; 1)

$\underset{EG}{\rightarrow}$ = (x$_{G}$ - x$_{E}$; y$_{G}$ - y$_{E}$) = (0 - 9; -6 - 9) = (-9; -15)

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác.

HĐKP6.

a) Vì M là trung điểm AB nên: $\underset{AM}{\rightarrow}$ = $\frac{1}{2} \underset{AB}{\rightarrow}$

$\underset{OM}{\rightarrow}$ - $\underset{OA}{\rightarrow}$ = $\frac{1}{2}$ ($\underset{OB}{\rightarrow}$ - $\underset{OA}{\rightarrow}$) 

$\underset{OM}{\rightarrow}$ = $\frac{1}{2}$ ($\underset{OA}{\rightarrow}$ + $\underset{OB}{\rightarrow}$)

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 3$\underset{OG}{\rightarrow}$ = $\underset{OA}{\rightarrow}$ + $\underset{OB}{\rightarrow}$ + $\underset{OC}{\rightarrow}$

<=> $\underset{OG}{\rightarrow}$ = $\frac{1}{3}$ ($\underset{OA}{\rightarrow}$ + $\underset{OB}{\rightarrow}$ + $\underset{OC}{\rightarrow}$)

c) M($\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$;$\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$); G($\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}$;$\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}$)

Kết luận:

Cho hai điểm A (x$_{A}$; y$_{A}$) và B (x$_{B}$; y$_{B}$). Tọa độ trung điểm M (x$_{M}$; y$_{M}$) của đoạn thẳng AB là:

x$_{M}$ = $\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$ ;  y$_{M}$ = $\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$

Cho tam giác ABC có A (x$_{A}$; y$_{A}$); B(x$_{B}$ ; y$_{B}$); C (x$_{C}$; y$_{C}$). Tọa độ trọng tâm G (x$_{G}$; y$_{G}$) của tam giác ABC là:

x$_{G}$ =$\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}$;  y$_{G}$ = $\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}$;

Ví dụ 4: SGK-tr42

Thực hành 4.

a) Ta có: x$_{M}$ = $\frac{x_{Q}+x_{S}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = 6; y$_{M}$ = $\frac{y_{Q}+y_{S}}{2}$ = $\frac{-2+8}{2}$ = 3

Vậy M(6; 3)

b) Ta có: x$_{G}$ = $\frac{x_{Q}+x_{R}+x_{S}}{3}$=$\frac{7+(-4)+5}{3}$ =$\frac{8}{3}$; y$_{G}$ = $\frac{y_{Q}+y_{R}+y_{S}}{3}$; =$\frac{-2+9+8}{3}$ = 5

Vậy G($\frac{8}{3}$; 5)

Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

HĐKP7.

a) $\underset{a}{\rightarrow} \perp  \underset{b}{\rightarrow}$ <=> $\underset{a}{\rightarrow}$. $\underset{b}{\rightarrow}$= 0 <=> a$_{1}$b$_{1}$ + a$_{2}$b$_{2}$ = 0

b) $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ cùng phương

<=> $\left\{\begin{matrix}a_{1}=tb_{1} & \\ a_{2}=tb_{2} & \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix}b_{1}=ka_{1} & \\ b_{2}=ka_{2} & \end{matrix}\right.$  

<=> a$_{1}$b$_{1}$ + a$_{2}$b$_{2}$ = 0

c) |$\underset{a}{\rightarrow}$| = $\sqrt{(\underset{a}{\rightarrow})^{2}}$=$\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$;

d) $\underset{AB}{\rightarrow}$ = (x$_{B}$ - x$_{A}$; y$_{B}$ - y$_{A}$) 

=>AB = $\sqrt{(\underset{AB}{\rightarrow})^{2}}$=$\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$;

e) cos($\underset{a}{\rightarrow}$, $\underset{b}{\rightarrow}$) = $\frac{\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow}}{|\underset{a}{\rightarrow}|.|\underset{b}{\rightarrow}|}$=$\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{1}+a_{2}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$ ($\underset{a}{\rightarrow}$, $\underset{b}{\rightarrow}$ khác $\underset{0}{\rightarrow}$).

Kết luận:

Cho hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$= (x$_{A}$; x$_{B}$), $\underset{b}{\rightarrow}$ = (y$_{A}$; y$_{B}$) và hai điểm A(x$_{A}$; y$_{A}$), B(x$_{B}$; y$_{B}$). Ta có:

• $\underset{a}{\rightarrow} \perp  \underset{b}{\rightarrow}$ <=> $\underset{a}{\rightarrow}$. $\underset{b}{\rightarrow}$= 0 <=> a$_{1}$b$_{1}$ + a$_{2}$b$_{2}$ = 0;

• $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ cùng phương <=>a$_{1}$b$_{1}$+a$_{2}$b$_{2}$=0;

•  |$\underset{a}{\rightarrow}$| = $\sqrt{(\underset{a}{\rightarrow})^{2}}$=$\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$ ;

• AB = $\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$

• cos($\underset{a}{\rightarrow}$, $\underset{b}{\rightarrow}$) = $\frac{\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow}}{|\underset{a}{\rightarrow}|.|\underset{b}{\rightarrow}|}$=$\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{1}+a_{2}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$($\underset{a}{\rightarrow}$, $\underset{b}{\rightarrow}$ khác $\underset{0}{\rightarrow}$)

Ví dụ 5: SGK-tr43

Thực hành 5.

a) Xét điểm H(x; y), ta có: $\underset{DH}{\rightarrow}$ = (x - 2; y - 2), $\underset{EH}{\rightarrow}$ = (x - 6; y - 2), $\underset{EF}{\rightarrow}$ = (-4; 4)

H(x; y) là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D, nên ta có:

• $\underset{DH}{\rightarrow}$. $\underset{EF}{\rightarrow}$ (x - 2).(-4) + (y - 2). 4 = 0 => -4x + 4y = 0 (1)

• Hai vectơ $\underset{EH}{\rightarrow}$, $\underset{EF}{\rightarrow}$ cùng phương  (x - 6). 4 - (y - 2). (-4) = 0 => 4x + 4y - 32 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}-4x+4y=0 & \\ 4x+4y-32=0 & \end{matrix}\right.$   

<=> $\left\{\begin{matrix}x=4 & \\ y=4 & \end{matrix}\right.$

Vậy H(4; 4)

b) Ta có: $\underset{DE}{\rightarrow}$ = (4; 0); $\underset{DF}{\rightarrow}$ = (0; 4); $\underset{EF}{\rightarrow}$ = (-4; 4)

DE = |$\underset{DE}{\rightarrow}$| = $\sqrt{4^{2}+0^{2}}$ = 4

DF = |$\underset{DF}{\rightarrow}$| = $\sqrt{0^{2}+4^{2}}$ = 4

EF = |$\underset{EF}{\rightarrow}$| = $\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}}$ = 4$\sqrt{2}$

cosD = cos($\underset{DE}{\rightarrow}$, $\underset{DF}{\rightarrow}$) =$\frac{\underset{DE}{\rightarrow}.\underset{DF}{\rightarrow}}{DE.DF}$ = $\frac{4.0+0.4}{4.4}$ = 0  => $\widehat{D}$ = 90°

Nhận thấy tam giác DEF vuông cân tại D =>$\widehat{E}$ = $\widehat{F}$ = 45°

Vận dụng 3:

a) Ta có: $\underset{AB}{\rightarrow}$ = (60; 10), $\underset{AC}{\rightarrow}$ = (42; -43), $\underset{BC}{\rightarrow}$ = (-18; -53)

Suy ra: AB = |$\underset{AB}{\rightarrow}$| = $\sqrt{60^{2}+10^{2}}$ = 10$\sqrt{37} \approx $60,8

            AC = |$\underset{AB}{\rightarrow}$| = $\sqrt{42^{2}+(-43)^{2}} \approx $60,1

           cos$\widehat{BAC}$ = cos($\underset{AB}{\rightarrow}$, $\underset{AC}{\rightarrow}$)= $\frac{\underset{AB}{\rightarrow}.\underset{AC}{\rightarrow}}{AB.AC}$ = $\frac{60.42+10.(-43)}{60,8.60,1} \approx $ 0,57 => $\widehat{BAC}$  55°7'

b) Khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo B là: AB $\approx $ 60,8 (km)

    Khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo C là AC $\approx $ 60,1 (km)