CHƯƠNG IX. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
BÀI 4. BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. ELIP
-
Nhận biết elip
HĐKP1:
F$_{1}$M + F$_{2}$M = 2a.
Kết luận:
Cho hai điểm cố định F$_{1}$ , F$_{2}$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F$_{1}$F$_{2}$. Elip (E) tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F$_{1}$M + F$_{2}$M = 2a.
Các điểm F$_{1}$ và F$_{2}$ gọi là các tiêu điểm của elip.
Độ dài F$_{1}$F$_{2}$ = 2c gọi là tiêu cự của elip (a>c).
-
Phương trình chính tắc của elip
HĐKP2
a) F$_{1}$M =$\sqrt{(x_{M}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{M}-y_{F_{1}})^{2}}$=$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$
F$_{2}$M = $\sqrt{(x_{M}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{M}-y_{F_{2}})^{2}}$=$\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$
b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F$_{1}$M + F$_{2}$M = 2a
$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$+$\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$ = 2a.
Kết luận:
M(xy) $\in $ (E) <=> $\frac{x^{2}}{a^{2}}$+$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1
(b=$\sqrt{a^{2}-c^{2}}$,a>b>0)
Trong đó b =$\sqrt{a^{2}-c^{2}}$
Phương trình chính tắc của elip.
* Chú ý:
(E) cắt Ox tại hai điểm A$_{1}$ (-a; 0), A$_{2}$ (a; 0) và cắt Oy tại hai điểm B$_{1}$ (0;-b); B$_{2}$(0; b).
Các điểm A$_{1}$ ; A$_{2}$ ; B$_{1}$ ; B$_{2}$ gọi là các đỉnh của elip.
Đoạn thẳng A$_{1}$A$_{2}$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng B$_{1}$B$_{2}$ gọi là trục nhỏ của elip.
Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.
Nếu M(x; y) (E) thì |x| ≤ a; |y| ≤ b
Ví dụ 1: SGK-tr65
Ví dụ 2: SGK-tr65
Thực hành 1.
Ta có: a = 3; b = 2.
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^{2}}{9}$+$\frac{y^{2}}{4}$ = 1
Vận dụng 1:
Ta có: 2a = 10 a = 5; b = 4.
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^{2}}{25}$+$\frac{y^{2}}{16}$ = 1
2. HYPEBOL
-
Nhận biết hypebol
HĐKP3:
a) Ta có: MF$_{2}$ + MA = l MA = l - MF$_{2}$
Lại có MF$_{1}$ + MA = d MF$_{1}$ + l - MF$_{2}$ = d
=> MF$_{1}$ - MF$_{2}$ = d - l = 2a
Vậy MF$_{1}$ - MF$_{2}$ = 2a
b) MF$_{2}$ - MF$_{1}$ = 2a
⇒ Kết luận:
- Cho hai điểm cố định F$_{1}$, F$_{2}$ và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn F$_{1}$F$_{2}$. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F$_{1}$M-F$_{2}$M| = 2a
- Các điểm F$_{1}$ và F$_{2}$ gọi là các tiêu điểm của hypebol.
- Độ dài F$_{1}$F$_{2}$ = 2c gọi là tiêu cự của hypebol. (c >a).
HĐKP4:
a) F$_{1}$M =$\sqrt{(x_{M}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{M}-y_{F_{1}})^{2}}$=$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$
F$_{2}$M =$\sqrt{(x_{M}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{M}-y_{F_{2}})^{2}}$=$\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$
b) Hypebol (H) là tâp hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F$_{1}$M-F$_{2}$M | = 2a
|$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$-$\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$ | = 2a.
⇒ Kết luận:
M(x;y)$\in $ (H) <=> $\frac{x^{2}}{a^{2}}$-$\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1
Trong đó b=$\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
* Chú ý:
Ví dụ 3: SGK – tr67
Thực hành 2.
Ta có: 2c = 10 => c = 5; 2b = 6 => b = 3
a = $\sqrt{c^{2}-b^{2}}$ =$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{x^{2}}{16}$-$\frac{y^{2}}{9}$ = 1
Vận dụng 2.
Theo bài ra ta có, khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bẳng 40m, khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.
Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được:
$\frac{x^{2}}{27^{2}}$-$\frac{40^{2}}{40^{2}}$ = 1
<=>x$^{2}$ = 2. 27$^{2}$ <=> x =$\pm $ 27$\sqrt{2}$
Bán kính đường tròn nóc bằng 27$\sqrt{2}$ m.
Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:
$\frac{x^{2}}{27^{2}}$-$\frac{80^{2}}{40^{2}}$ = 1
<=> x$^{2}$= 5. 27$^{2}$ <=> x = $\pm $27$\sqrt{5}$
Bán kính đường tròn đáy bằng 27$\sqrt{2}$ m.
3. PARABOL
-
Nhận biết parabol
HĐKP5
Đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được là một parabol.
Phương trình chính tắc của parabol
HĐKP6
a) MF = $\sqrt{(x_{F}-x_{M})^{2}+(y_{F}-y_{M})^{2}}$=$\sqrt{(\frac{p}{2}-)^{2}+(0-y)^{2}}$ = $\sqrt{(\frac{p}{2}-)^{2}+y^{2}}$
d(M, $\Delta $) = |x + $\frac{p}{2}$|
b) Ta có (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và nên MF = d(M, $\Delta $)
$\sqrt{(\frac{p}{2}-)^{2}+y^{2}}$ = |x + $\frac{p}{2}$|
Kết luận:
M(xy )∈(P)⇔y$^{2}$=2px
Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của parabol.
* Chú ý:
+ O gọi là đỉnh của parabil (P)
+ Ox gọi là trục đối xứng của parabol (P)
+ p gọi là tham số tiêu của parabol (P)
+ Nếu M(x; y) ∈ (P) thì x $\geq $ 0 và M'(x; -y) ∈ (P).
Ví dụ 4: SGK – tr69
Ví dụ 5: SGK – tr69
Thực hành 3.
(P) có đường chuẩn $\Delta $: x + 1 = 0 p = 2
Vậy (P) có phương trình y$^{2}$ = 4x
Vận dụng 3.
Chọ hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là y$^{2}$ = 2px.
Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m C(10; 0)
Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5m => AC = 2,5 m A(10; 2,5)
Vì A(10; 2,5) (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được:
2,5$^{2}$ = 2p. 10
p = $\frac{5}{16}$ => (P): y$^{2}$= $\frac{5}{8}$x
Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được:
a$^{2}$= $\frac{5}{8}$. 2 => a = $\frac{\sqrt{5}}{2}$
Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là:
2a = 2. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ = $\sqrt{5}$ (m).