Bài tập 4. Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60°. Trên bờ biển có hai đài quan sát 4 và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng cách 1 km và 2 km (Hình 2).
a. Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.
b. Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A.
c. Tìm x để khoảng cách tử tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đảng 500 m. (Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)
Bài Làm:
a. Xét tam giác MOB có:
$M{{B}^{2}}=M{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}-2OM.OB.\cos {{60}^{o}}$
$M{{B}^{2}}={{x}^{2}}+{{2}^{2}}-2.x.2.\frac{1}{2}$
$M{{B}^{2}}={{x}^{2}}-2x+4$
$MB=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$
Xét tam giác MOA có:
$M{{A}^{2}}=M{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}-2OM.OA.\cos ({{180}^{o}}-{{60}^{o}})$
$M{{A}^{2}}={{x}^{2}}+{{1}^{2}}-2.x.1.\left( -\frac{1}{2} \right)$
$M{{A}^{2}}={{x}^{2}}+x+1$
$MA=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$
b. Theo đề bài ta có:
$MB=\frac{4}{5}MA$
$\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}=\frac{4}{5}.\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$
${{x}^{2}}-2x+4=\frac{16}{25}.\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$
$\frac{9}{25}{{x}^{2}}-\frac{66}{25}x+\frac{84}{25}=0$
$\left[ \begin{align}& x=\frac{11+\sqrt{37}}{3}\approx 5,7 \\ & x=\frac{11-\sqrt{37}}{3}\approx 1,64 \\\end{align} \right.$
Vậy $x\approx 5,7 $ hoặc $x\approx 1,64 $ thì thỏa mãn đề bài.
c. Theo đề ta có:
$OM~\text{ }=\text{ }MB\text{ }+\text{ }5$
$x=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}+5$
$x-5=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-10x+25={{x}^{2}}-2x+4$
$\Rightarrow x=\frac{21}{8}=2,625$
Vậy x = 2,625 thì thỏa mãn yêu cầu đề.