Bài tập 7.23 trang 34 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a.
a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD).
b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A, BD, C].
Bài Làm:
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD,
Ta có: $AO\perp BD, A'O\perp BD $
=> góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AO, A'O
Mà $(AO, AO) = \widehat{AOA′} $nên góc giữa hai mặt phẳng (A’BD)
và (ABCD) bằng $\widehat{AOA′} $
Ta có: $OA =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$OA' = \sqrt{OA^{2}+AA'^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
$=> cos\widehat{ AOA'}=\frac{AO}{A'O}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
b) Vì $A'O \perp BD, CO'\perp BD$ nên góc nhị diện [A, BD,C] bằng $\widehat{A'OC'}$
Có $OA'=OC'=\frac{a\sqrt{6}}{2}, A'C'=a\sqrt{2}$
$=> cos\widehat{A'OC'}=\frac{OA'^{2}+OC'^{2}-A'C'^{2}}{2.OA'.OC'}=\frac{2}{9}$