Bài tập 7.21 trang 34 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết $SA\perp (ABCD)$ và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
Chứng minh rằng:
a) $(SBD)\perp (SAC);$
b) $(SBC)\perp (BDH);$
c) $(SBC)\perp (SCD).$
Bài Làm:
a) Ta có $SA\perp (ABCD)$
$=> SA\perp BD $
mà $BD\perp AC$
$=> BD\perp (SAC).$
Vì mặt phẳng (SBD) chứa BD nên $(SBD)\perp (SAC).$
b) Ta có $BD\perp (SAC)$
$=> BD\perp SC mà SC\perp OH,$
$=> SC\perp (BDH).$
Vì mặt phẳng (SBC) chứa SC nên $(SBC)\perp (BDH).$
c) Ta có: $SC=\sqrt{SA^{2}+AC^{2}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$
Vì $\Delta CHO\sim \Delta CAS $
=> $\frac{HO}{AS}=\frac{CO}{CS}$
=> $HO=\frac{CO.AS}{CS}=\frac{a}{2}=\frac{BD}{2}$
Do đó, tam giác BDH vuông tại H, suy ra $\widehat{BHD}=90^{\circ}$
Ta lại có $BH \perp SC, DH \perp SC $
=> $(SBC)\perp (SCD).$