Bài tập 7.19 trang 34 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD,kẻ AH vuông góc với BM tại H.
a) Chứng minh rằng $AH\perp (BCD).$
b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD).
Bài Làm:
a) Vì M là trung điểm của CD
$=> CD\perp BM, CD\perp AM, $
$=> CD\perp (ABM)$
$=> CD\perp AH, $
Có $AH\perp BM => AH\perp (BCD).$
b) Vì $AM\perp CD, BM\perp CD $
=> góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng góc giữa hai đường
thẳng AM và BM, mà $(AM,BM) = \widehat{AMB}$
=> góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng $\widehat{AMB}$
Ta có: $HM =\frac{1}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2} $
Tam giác AHM vuông tại H nên $cos\widehat{AMB}=\frac{HM}{AM}=\frac{1}{3}$