Bài tập 7.22 trang 34 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:
a) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD);
b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).
Bài Làm:
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Khi đó $SO\perp (ABCD)$
$=> SO\perp AB$
kẻ $OH\perp AB$ tại H
$=> AB\perp (SOH)$
$=> AB\perp SH. $
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SH và HC, mà$ (SH,HO) =\widehat{SHO}$ nên góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng $\widehat{SHO}$
Có $OH=\frac{a}{2}, SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$=> cos\widehat{SHO}=\frac{OH}{SH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
b) Gọi K là trung điểm của SB.
=> $AK\perp SB, CK\perp SB$
=> góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có: $AK = CK =\frac{a\sqrt{3}}{2}, AC = a\sqrt{2}.$
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACK, ta có:
$cos\widehat{AKC}=\frac{AK^{2}+ CK^{2} - AC^{2}}{2.AK.CK}=\frac{-1}{3}$
$=> cos(AK, CK ) = –cos \widehat{AKC} =\frac{1}{3}$
Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng $\frac{1}{3}$