Bài tập 2.50 trang 43 SBT toán 11 tập 1 kết nối: Một dãy số $(u_{n})$ được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi
$u_{1} = a, u_{n + 1} = qu_{n} + d$.
Nếu q = 1 ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu d = 0 ta có cấp số nhân với công bội q.
a) Giả sử $q \neq 1$. Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$.
b) Thiết lập công thức tính tổng $S_{n}$ của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng $(u_{n})$.
Bài Làm:
a) Ta viết lần lượt các số hạng của dãy:
$u_{1} = a$;
$u_{2} = qu_{1} + d$;
$u_{3}=qu_{2}+d=q(qu_{1}+d)+d = q^{2}u_{1} + qd + d = q^{2}u_{1}+ d(q + 1)$;
$u_{4}=qu_{3}+d=q(q^{2}u_{1}+qd+d) + d = q^{3}u_{1} + q^{2}d + qd + d$
$= q^{3}u_{1}+d(q^{2}+q + 1)=q^{3}u_{1}+d\frac{1-q^{3}}{1-q}$ (với $q \neq 1$).
Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát un:
$u_{n}=q^{n-1}u_{1}+d(q^{n-2}+q^{n-3} + ... + 1)=q^{n-1}u_{1}+ d\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$
b) Ta viết tổng n số hạng đầu như sau
$S_{n}=u_{1}+u_{2}+ ... + u_{n}$
$= u_{1} + (qu_{1}+d)+(qu_{2}+ d) + ... + (qu_{n -1} + d)$
$= u_{1} +q(u_{1}+u_{2}+ ... + u_{n-1}) + (n-1)d$
$= u_{1} + qS_{n-1} + (n-1)d$
$= qS_{n -1} + a + (n-1)d$ (vì $u_{1} = a$).
Như vậy, ta được $(S_{n})$ cũng là một cấp số nhân cộng với $S_{1} = u_{1} = a$.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát vừa tìm được ở câu a để tính $S_{n}$ ta có
$S_{n}=q^{n-1}S_{1}+[a+(n-1)d]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}=q^{n-1}a+[a+(n-1)d]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$