B. TỰ LUẬN
Bài tập 2.43 trang 42 SBT toán 11 tập 1 kết nối: Trong các dãy số $(u_{n})$ dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.
a) $u_{1} = 2, u_{n + 1} = u_{n} + n$;
b) $u_{n} = 6n + 3$;
c) $u_{1} = 1, u_{n + 1} = n.u_{n}$;
d) $u_{n} = 3 . 5^{n}$.
Bài Làm:
a) Từ hệ thức truy hồi ta có $u_{1} = 2; u_{2} = u_{1} + 1 = 2 + 1 = 3; u_{3} = u_{2} + 2 = 3 + 2 = 5$.
Ta có 3 – 2 = 1; 5 – 3 = 2 nên $u_{2}-u_{1} \neq u_{3}- u_{2}$ và $\frac{3}{2} \neq \frac{5}{3}$ nên $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$
Do vậy, dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.
b) Từ $u_{n} = 6n + 3$, suy ra $u_{n + 1} = 6(n + 1) + 3 = 6n + 9$.
Ta có $u_{n + 1} = (6n + 9) -(6n + 3) = 6$ không đổi với mọi $n \geq 1$.
Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 6.
c) Từ hệ thức truy hồi ta có $u_{1} = 1; u_{2} = 1; u_{3} = 2 . u_{2} = 2.$
Từ đó suy ra $u_{2}-u_{1}\neq u_{3}-u_{2}$ và $\frac{u_{2}}{u_{1}}\neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$
Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.
d) Từ $u_{n} = 3 . 5^{n}$ suy ra $u_{n + 1} = 3 . 5^{n + 1} = 3 . 5 . 5^{n}$.
Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3.5.5^{n}}{3.5^{n}}=5$ không đổi với mọi $n \geq 1$.
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 5.