Bài tập 2.4 trang 34 SBT toán 11 tập 1 kết nối: Để tính xấp xỉ giá trị $\sqrt{p}$, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau:
$u_{1}=k,u_{n}=\frac{1}{2}(u_{n-1}+\frac{p}{u_{n-1}})$ với $n \geq 2$
ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của $\sqrt{p}$
Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính $u_{5}$ và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).
a) $\sqrt{5}$ (lấy k = 3);
b) $\sqrt{8}$ (lấy k = 3).
Bài Làm:
a) Với p = 5 thì $\sqrt{5} \approx 2,23607$. Nếu ta chọn $u_{1}=3$ thì ta có:
$u_{1}=3$
$u_{2}=\frac{1}{2}(u_{1}+\frac{5}{u_{1}}=\frac{1}{2}(3+\frac{5}{3}) \approx 2,3333$
$u_{3}=\frac{1}{2}(u_{2}+\frac{5}{u_{2}}=\frac{1}{2}(2,3333+\frac{5}{2,3333}) \approx 2,2381$
$u_{4}=\frac{1}{2}(u_{3}+\frac{5}{u_{3}}=\frac{1}{2}(2,2381+\frac{5}{2,2381}) \approx 2,2361$
$u_{5}=\frac{1}{2}(u_{4}+\frac{5}{u_{4}}=\frac{1}{2}(2,2361+\frac{5}{2,2361}) \approx 2,2361$
Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,2361 – 2,23607 = 0,00003.
b) Với p = 8 thì $\sqrt{8} \approx 2,82843$. Nếu ta chọn $u_{1}=3$ thì ta có:
$u_{1}=3$
$u_{2}=\frac{1}{2}(u_{1}+\frac{8}{u_{1}}=\frac{1}{2}(3+\frac{8}{3}) \approx 2,8333$
$u_{3}=\frac{1}{2}(u_{2}+\frac{8}{u_{2}}=\frac{1}{2}(2,8333+\frac{8}{2,8333}) \approx 2,8284$
$u_{4}=\frac{1}{2}(u_{3}+\frac{8}{u_{3}}=\frac{1}{2}(2,8284+\frac{8}{2,8284}) \approx 2,8284$
$u_{5}=\frac{1}{2}(u_{4}+\frac{8}{u_{4}}=\frac{1}{2}(2,8284+\frac{8}{2,8284}) \approx 2,8284$
Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,8284 – 2,82843 = 0,00003.