Bài tập 1.29 trang 24 SBT toán 11 tập 1 kết nối: Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó
$y=2+2,5sin2\pi (x-\frac{1}{4})$
với x là thời gian quay của guồng ($x \geq 0$), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.
a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?
b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?
Bài Làm:
a) Vì $-1 \leq sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 1$ nên $-2,5 \leq 2,5 sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 2,5$ và do đó ta có $2-2,5 \leq 2+2,5sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 2+ 2,5$
Hay $-0,5 \leq 2 + 2,5 sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 4,5 \forall x \in \mathbb{R}$
Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $sin 2\pi (x-\frac{1}{4})=1$
$\Leftrightarrow 2\pi(x-\frac{1}{4})=\frac{\pi}{2} +k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2} +k (k \in \mathbb{Z})$ Do $x \geq 0$ nên $x=\frac{1}{2}+k (k \in \mathbb{N})$
Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 12,32,52,...12, 32, 52,... phút.
Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi $sin2\pi(x-\frac{1}{4})=-1$
$\Leftrightarrow 2\pi(x-\frac{1}{4})=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
$x=\frac{1}{2} + k(k\in \mathbb{Z})$. Do $x \geq 0$ nên $x =k ( k \in \mathbb{N})$
Vậy gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3, ... phút.
b) Gầu cách mặt nước 2 m khi $2+2,5 sin2\pi (x-\frac{1}{4})=2$
$\Leftrightarrow sin2\pi (x-\frac{1}{4})=0$
$\Leftrightarrow 2\pi (x-\frac{1}{4})=k\pi (k \in \mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow x = \frac{1}{4} +\frac{k}{2} (k \in \mathbb{Z})$
Do $x \geq 0$ nên $x =\frac{1}{4}+\frac{k}{2} (k \in \mathbb{N})$
Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm $x=\frac{1}{4}$ phút.