Bài tập về tìm trung điểm của đoạn thẳng

6. Trên cùng một đường thẳng đặt đoạn AB = 8cm, BC = 4cm (biết tia BA và BC là hai tia đối nhau). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, BC.

a) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?

b) Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?

c) Lấy I là trung điểm của đoạn thẳng MN thì điểm I cũng là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?

7. Cho ba điểm M, N, O ; biết độ dài của ba đoạn thẳng đó là: MN = 5cm, NO = 4cm, MO = 3cm.

a) Điểm O có nằm giữa hai điểm M và N không? Vì sao?

b) Ba điểm M, N, O có thẳng hàng không? Vì sao?

8. Các điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và AC. Chứng tỏ rằng: BC = 2MN.

Bài toán có mấy trường hợp, chứng tỏ từng trường hợp đó.

Bài Làm:

6.

BA và BC là hai tia đối nhau nên B nằm giữa A và C

Suy ra AB + BC = AC nên AC = 8 + 4 = 12 (cm)

N là trung điểm của AC nên AN = NC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$.12 = 6 (cm)

M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$.8 = 4 (cm)

Do đó AM < AN nên M nằm giữa A và N (1) $\Rightarrow $ AM + MN = AN $\Rightarrow $ MN = AN - AM = 6 - 4 = 2 (cm)

Có AN < AB nên N nằm giữa A và B (2) $\Rightarrow $ AN + NB = AB $\Rightarrow $ NB = AB - AN = 8 - 6 = 2 (cm)

Suy ra NB = MN = 2 (cm)

Mà từ (1) và (2) suy ra N nằm giữa M và B

Vậy N là trung điểm của MB

b) B là trung điểm của NP vì:

  • BN = NP = 2 (cm)
  • B nằm giữa N và P 

B là trung điểm của MC vì:

  • MB = BC = 4 (cm)
  • B nằm giữa M và C

c) 

Lấy I là trung điểm của MN thì I cũng là trung điểm của AP vì:

  • I nằm giữa A và P
  • AI = IP = 6 (cm)

7. 

a) Giả sử điểm O nằm giữa hai điểm M và N

Từ đó ta có MN = NO + OM = 3 + 4 = 7 (cm) (trái với đề bài MN = 5cm)

Do đó O không nằm giữa hai điểm M và N.

b) Chứng minh tương tự ta có M không nằm giữa O và N ; N không nằm giữa O và M

Vậy ba điểm M, N, O không thẳng hàng.

8. Ta xét hai trường hợp tổng quát:

- TH1: Hai điểm B và C ở cùng phía với điểm A

có 2 trường hợp sảy ra là : AB > AC và AB < AC. Không mất tính tổng quát ta lấy AB < AC

N là trung điểm của AC nên AN = NC = $\frac{1}{2}$AC

M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{1}{2}$AB

Từ (1) và (2) ta có: AN - AM = $\frac{1}{2}$AC - $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$(AC - AB) (*)

Ta có: AB < AC nên B nằm giữa A và C nên AC = AB + BC $\Rightarrow $ BC = AC - AB (3)

AB <  AC nên AM < AN nên M nằm giữa A và N $\Rightarrow $ MN = AN - AM (4)

Từ (3) và (4) thay vào (*) suy ra MN = $\frac{1}{2}$BC

- TH2: Hai điểm B và C nằm khác phía với A suy ra M và N là hai trung điểm cũng nằm khác phía với A.

Không mất tính tổng quát chọn AB > AC

M là trung điểm của AB nên AM = $\frac{1}{2}$AB

N là trung điểm của AC nên AN = $\frac{1}{2}$AC

Suy ra AM + AN = $\frac{1}{2}$(AB + AC)

A nằm giữa B và C nên BC = AB + AC

A nằm giữa M và N nên MN = AM + AN = $\frac{1}{2}$AB +$\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BC (đpcm)

Xem thêm Bài tập & Lời giải

Trong: Cách giải bài toán dạng: Tia - Đoạn thẳng Toán lớp 6

1. Cho hai tia Ox và Oy đối nhau. ĐIểm E thuộc tia Ox. Điểm F thuộc tia Oy (F nằm giữa O và P)

a) Kể tên các tia đối của tia Ex

b) Kể tên các tia đối của tia Fy

c) Kể tên các tia trùng với tia Oy

d) Kể tên các tia trùng với tia Ox

2. Cho ba điểm phân biệt O, M, N không thẳng hàng

a) Vẽ các tia OM, ON, MN

b) Vẽ các tia Ox cắt đường thẳng MN tại E, sao cho điểm E nằm giữa hai điểm M và N.

c) Vẽ tia Oy cắt đường thẳng MN tại F, sao cho điểm M nằm giữa hai điểm F và N.

Xem lời giải

3. Trên tia Ox lấy ba điểm E, F, P. Biết OE = 2cm, OF = 3cm, OP = 5cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng EF, FP và cho biết điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Ví sao?

4. a. Đoạn thẳng MN = 5cm. Lấy điểm P nằm giữa hai điểm M và N sao cho PN = 3cm. Tính độ dài đoạn MP.

b. Trên tia đối của tia PM lấy điểm E sao cho PE = 1cm. So sánh MP và EN.

5. Cho đoạn thẳng AB = 4cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho BE = 7cm. Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho AF = 7cm. Hãy chứng tỏ đoạn AE = BF.

Xem lời giải

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán 6, hay khác: