BÀI 3: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Khởi động 1: Trong không gian 
, có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trong mặt phẳng 
không?
Giải rút gọn:
Trong không gian 
, ta có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trên mặt phẳng tọa độ.
Khám phá 1: Trong không gian 
, cho hai vectơ 
, 
với số thực 
.
a) Biểu diễn từng vectơ 
theo ba vectơ 
.
b) Biểu diễn các vectơ 
theo ba vectơ 
, từ đó suy ra tọa độ của các vectơ
Giải rút gọn:
a) 
;
b)
Và 
Và 
Thực hành 1: Cho ba vectơ
a) Tìm tọa độ của vectơ 
b) Tìm tọa độ của vectơ 
c) Chứng minh 
cùng phương với vectơ 
Giải rút gọn:
a) Ta có: 
Khi đó 
b) Ta có 
Suy ra 
c) Ta có 
.
Vậy 
cùng phương với 
Vận dụng 1: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc 
(Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là 
.
a) Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc 
b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc 
, hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.
Giải rút gọn:
a) 
b) Ta có: 
. Vậy vectơ vận tốc của thiết bị thăm dò cùng hướng với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Khám phá 2: Cho hai vectơ 
, 
.
a) Biểu diễn từng vectơ 
theo ba vectơ 
.
b) Tính các tích vô hướng 
.
c) Tính tích vô hướng 
theo tọa độ của hai vectơ
Giải rút gọn:
a) 
; 
b) 
; 
c) 
= 
). 
= 
Thực hành 2: Cho ba vectơ
a) Tính 
.
b) Tính 
.
c) Cho 
. Vectơ 
có vuông góc với 
không?
Giải rút gọn:
a) 
;
b) 
= 
; 
=
Vận dụng 2: Một thiết bị dò thăm đáy biển (HÌnh 2) được đẩy bởi lực 
(đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời 
(đơn vị: m). Tính công lực sinh bởi lực 
.
Giải rút gọn:
Công sinh ra bởi lực 
khi thực hiện độ dời 
là:
(N)
3. VẬN DỤNG
Khám phá 3: Cho hai điểm 
. Từ biểu thức 
, tìm tọa độ của vectơ 
theo tọa độ hai điểm 
và 
.
Giải rút gọn:
Ta có: 
;
.
Nên 
Thực hành 3: Cho ba điểm 
.
a) Tìm tọa độ của các vectơ 
b) Tính các độ dài 
.
Giải rút gọn:
a) 
;
;
.
b)
Khám phá 4: Cho tam giác 
có 
. Gọi 
là trung điểm của đoạn thẳng 
và 
là trọng tâm của tam giác 
.
Sử dụng các hệ thức vectơ 
, tìm tọa độ của các điểm 
và 
.
Giải rút gọn:
Ta có 
Ta có 
Hay 
Nên 
Tương tự, ta có 
Nên 
Thực hành 4: Cho tam giác 
có 
. Tìm tọa độ:
a) Các điểm 
lần lượt là trung điểm của các cạnh 
;
b) Trọng tâm 
của tam giác 
.
Giải rút gọn:
a) Tọa độ trung điểm 
của cạnh 
là 
hay 
Tọa độ trung điểm 
của cạnh 
là 
hay 
Tọa độ trung điểm 
của cạnh 
là 
hay 
b) Tọa độ trọng tâm 
là: 
hay 
Vận dụng 3: Cho hình chóp 
có 
, 
và đáy 
là tam giác đều cạnh a, 
là trung điểm của 
. Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như Hình 3, hãy tìm tọa độ:
a) Các điểm 
.
b) Trung điểm 
của 
và trung điểm 
của 
.
c) Trọng tâm 
của tam giác 
.
Giải rút gọn:
a) Vì 
là tam giác đều cạnh a, 
là trung điểm của 
nên 
là đường cao. Từ đó suy ra 
và 
→ 
Gọi 
là hình chiếu của 
trên 
. Ta có 
, vì 
cùng hướng với 
nên 
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: 
→ 
b) Tọa độ trung điểm 
của 
là 
hay 
Tọa độ trung điểm 
của 
là 
hay 
c) Tọa độ của trọng tâm 
tam giác 
là:
hay 
Thực hành 5: Cho tam giác 
có 
.
a) Tìm tọa độ điểm 
là chân đường cao kẻ từ 
của tam giác 
.
b) Tìm độ dài cạnh 
và 
.
c) Tính góc 
.
Giải rút gọn:
a) Ta có 
.
Vì 
là chân đường vuông góc kẻ từ 
xuống 
nên 
và 
.
Gọi 
, ta có 
.
Vì 
và 
cùng phương nên tồn tại 
sao cho 
.
Do đó 
.
Vì vậy 
.
Khi đó 
.
Vì 
nên 
.
Vậy 
.
b) Ta có 
.
Vậy độ dài cạnh 
và 
là:
c) Ta có: 
Vận dụng 4: Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian 
, một đội gồm ba drone giao hàng 
đang có tọa độ là 
, 
, 
. Tính:
a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.
b) Góc 
.
Giải rút gọn:
a) Ta có 
.
Khi đó: 
và 
b) Ta có 
4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA
Giải rút gọn bài 1 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Tính:
a) 
b) 
Giải rút gọn:
a) 
b) 
Giải rút gọn bài 2 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst Cho hai vectơ 
và 
. Tính tọa độ của vectơ 
Giải rút gọn:
Có: 
Vậy tọa độ của vectơ 
là:
hay 
Giải rút gọn bài 3 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho ba điểm 
và 
.
a) Chứng minh 
là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác 
.
b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác 
.
c) Tìm tọa độ trọng tâm 
của tam giác 
.
Giải rút gọn:
a) Ta có 
. Vì 
không có cùng phương nên 
không thẳng hàng. Vì vậy, 
là ba đỉnh của một tam giác.
Chu vi tam giác 
là:
=
b) Gọi 
lần lượt là trung điểm của cạnh 
.
Tọa độ điểm 
là 
hay 
Tọa độ điểm 
là 
hay 
Tọa độ điểm 
là 
hay 
c) Tọa độ trọng tâm 
của tam giác 
là 
hay 
Giải rút gọn bài 4 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho điểm 
. Hãy tìm tọa độ của các điểm:
a) 
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng 
, 
, 
.
b) Gọi 
lần lượt là các điểm thỏa mãn:
• 
là trung điểm của 
;
• 
vuông góc với mặt phẳng 
tại điểm 
sao cho 
là trung điểm của 
.
• 
vuông góc và cắt trục 
tại điểm 
sao cho 
là trung điểm của 
.
Giải rút gọn:
a) Ta có 
, 
, 
.
b) 
là trung điểm của 
nên 
.
Vậy 
.
Vì 
nên 
.
Ta có 
.
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
Vì vậy 
.
Vì 
là trung điểm của 
nên 
.
Vậy 
.
Vì 
nên 
⇒ 
Vì 
⇒ 
⇔ 
⇔ 
.
Vì 
là trung điểm của 
nên 
.
Vậy 
.
Giải rút gọn bài 5 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho ba điểm 
, 
và 
.
a) Tìm điểm 
trên trục 
cách đều hai điểm 
.
b) Tìm điểm 
trên mặt phẳng 
cách đều ba điểm 
.
Giải rút gọn:
Vì 
nên 
.
Vì 
cách đều hai điểm 
nên 
hay 
. Vậy
b) Vì 
nên 
. Vì 
cách đều ba điểm 
nên 
hay
⇔ 
⇔
⇔
.
Vậy 
Giải rút gọn bài 6 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho các điểm 
, 
, 
, 
. Chứng minh rằng 
là hình thang.
Giải rút gọn:
Ta có: 
. Vì 
nên 
và 
cùng phương.
Mặt khác, 
và 
không cùng phương nên 
. Từ đó suy ra tứ giác 
là hình thang.
Giải rút gọn bài 7 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hình hộp 
có 
, 
, 
, 
. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Giải rút gọn:
a) Gọi 
là một đỉnh của hình hộp chữ nhật 
.
Ta có: 
. Vậy 
.
Ta có: 
. Vậy 
.
Ta có: 
. Vậy 
.
Ta có: 
. Vậy 
.