BÀI 1. NGUYÊN HÀM
1. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM
Hoạt động 1:
Cho hàm số f(x) = 2x xác định trên R. Tìm một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x).
Giải rút gọn:
(x2+1)'= 2x = f(x)
F(x) = x2+1
Hoạt động 2:
Cho hàm số f(x) = 3x2 xác định trên R.
a) Chứng minh rằng F(x) = x3 là một nguyên hàm của f(x) trên R.
b) Với C là hằng số tuỳ ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên R không?
c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) - F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) - F(x)?
Giải rút gọn:
a) F'(x) = (x3)' = 3x2 = f(x) với mọi x thuộc R.
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R
b) H(x) = F(x)+C = x3+C
H'(x) = (x3+C)' = 3x2 = f(x) với mọi x thuộc R.
H(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R
c) Vì G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R nên G'(x) = f(x)
[G(x) - F(x)]' = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0
Vậy đạo hàm của hàm số G(x) - F(x) bằng 0; suy ra hàm số G(x) - F(x) là một hằng số
Thực hành 1:
Chứng minh rằng F(x) = e2x+1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e2x+1 trên R.
Giải rút gọn:
F(x)' = (e2x+1)' = (2x+1)'.e2x+1 = 2e2x+1 = f(x) với mọi x thuộc R
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R
2. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP
Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
Hoạt động 3:
Giải rút gọn:
Thực hành 2:
Tìm:
Giải rút gọn:
Nguyên hàm của hàm số
Hoạt động 4:
a) Tìm đạo hàm của F(x).
Giải rút gọn:
Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
Hoạt động 5:
a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sin x, y = -cos x, y = tan x, y = -cot x.
Giải rút gọn:
Thực hành 3:
Giải rút gọn:
Nguyên hàm của hàm số mũ
Hoạt động 6:
Giải rút gọn:
Thực hành 4:
Tìm:
Giải rút gọn:
3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của tích một số với một hàm số
Hoạt động 7:
Giải rút gọn:
Thực hành 5:
Tìm:
Giải rút gọn:
Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số
Hoạt động 8:
Giải rút gọn:
Thực hành 6:
Tìm:
Giải rút gọn:
Thực hành 7:
Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ v(t) = 19 - 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?
Giải rút gọn:
Gọi s(t) là quãng đường vật đi được sau hãm phanh t giây
Chọn mốc thời gian là kể từ khi hãm phanh nên s(0) = 0 m/s
Vì v(t) = s'(t) với mọi t0 nên:
Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây là:
s(1) = 19.1 - 12 = 18 (m)
Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 2 giây là:
s(2) = 19.2 - 22 = 34 (m)
Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 3 giây là:
s(3) = 19.3 - 32 = 48 (m)
GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1:
Tính đạo hàm của hàm số F(x) = xex, suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) = (x+1)ex.
Giải rút gọn:
F'(x) = (xex)' = 1.ex + x.ex = (x+1)ex
Vì F'(x) = (x+1)ex = f(x) với mọi x R nên F(x) = xex là một nguyên hàm của f(x) = (x+1)ex
Bài 2:
Tìm:
Giải rút gọn:
Bài 3:
Giải rút gọn:
Bài 4:
Tìm:
Giải rút gọn:
Bài 5:
Tìm:
Giải rút gọn:
Bài 6:
Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ
a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11).
b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?
Giải rút gọn:
a) Gọi h(x) là chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11)
Vì sau năm đầu tiên cây cao 2 m nên h(1) = 2
Bài 7:
Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ v0= 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 2 m/s2. Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Giải rút gọn:
Kí hiệu v(t) là tốc độ của xe, s(t) là quãng đường xe đó đi được sau t giây tăng tốc
Do chọn mốc thời gian tính từ lúc xe bắt đầu tăng tốc nên s(0) = 0
Vì a(t) = v'(t) với mọi t0 nên:
v(t) = 2t + 10 (m/s)
Vì v(t) = s'(t) với mọi t0 nên:
Vậy quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:
s(3)=32+10.3=39 (m)