BÀI 2: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hoạt động 1: Cho hình lập phương 
có cạnh bằng 1.
Đặt 
.
a) Nêu nhận xét về phương và độ dài của ba vectơ 
.
b) Nêu nhận xét về ba trục tọa độ 
.
Giải rút gọn:
a) Ba vectơ 
có phương đôi một vuông góc với nhau, có cùng độ dài là bằng 1.
b) Ba trục tọa độ 
có cùng gốc tọa độ O và có vectơ đơn vị lần lượt là 
.
Thực hành 1: Cho hình chóp 
có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, 
vuông góc với mặt phẳng mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 1 (Hình 4). Vẽ hệ trục tọa độ 
có gốc 
trùng với điểm 
, các điểm 
lần lượt nằm trên các tia 
và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.
Giải rút gọn:
Với gốc tọa độ 
trùng với điểm 
, ta chọn tia 
là trục 
, tia 
là trục 
, tia 
là trục 
. Các vectơ đơn vị trên các trục tọa 
lần lượt là 
.
Vận dụng 1: Một thiết kế cơ khí trong Hình 5a được biểu diễn trong không gian 
như Hình 5b.
a) Hãy vẽ ba vectơ đơn vị 
lần lượt trên ba trục tọa độ 
(mỗi vectơ đơn vị có độ dài bằng 1m)
b) Biểu diễn các vectơ 
theo 
.
Giải rút gọn:
a) Vẽ ba vectơ đơn vị
b) 
; 
2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
Hoạt động 2: Cho hình hộp 
có cạnh 
. Vẽ ba vectơ đơn vị 
lần lượt trên các cạnh 
. Biểu diễn 
theo ba vectơ 
Giải rút gọn:
Thực hành 2: Cho hình lập phương 
có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục tọa độ 
có gốc 
trùng với 
; các điểm 
lần lượt nằm trên các tia 
. Xác định tọa độ các điểm 
.
Giải rút gọn:
Bởi vì 
cùng hướng và 
nên 
.
Tương tự ta có 
và 
.
Theo quy tắc hình bình hành: 
Theo quy tắc hình hộp: 
Qua đó, ta có: 
.
Hoạt động 3: Trong không gian 
, cho vectơ 
. Vẽ điểm 
sao cho 
. Gọi 
là tọa độ ba điểm biểu diễn 
theo ba đơn vị vectơ 
.
Giải rút gọn:
Ta có 
Mà 
nên 
Thực hành 3: Cho hình chóp 
có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, 
vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 3 (Hình 11)
a) Vẽ hệ trục tọa độ 
có gốc 
trùng với điểm 
, các điểm 
lần lượt nằm trên các tia 
và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.
b) Trong hệ tọa độ nói trên, tìm tọa độ các vectơ 
và 
với 
là trung điểm của cạnh 
Giải rút gọn:
a) Với 
là gốc tọa độ ta chọn tia 
là tia 
, tia 
là tia 
, tia 
là tia 
. Ba vectơ đơn vị trên ba trục tọa độ lần lượt là 
với độ dài của 
lần lượt bằng 
.
b) Ta có: 
, 
, 
Do 
là trung điểm của cạnh 
nên 
Vận dụng 2: Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ 
được thiết lập như Hình 12, cho biết 
là vị trí của máy bay, 
, 
; 
. Tìm tọa độ điểm 
.
Giải rút gọn:
Xét tam giác 
vuông tại 
có 
;
.
Xét tam giác 
vuông tại 
có:
;
Do đó, ta có 
. Từ đó suy ra tọa độ điểm 
biểu diễn vị trí máy bay là 
3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA
Giải rút gọn bài 1 trang 56 sách toán 12 tập 1 ctst: Trong không gian 
, biết:
a) 
Tìm tọa độ các vectơ 
và 
b) 
. Tìm tọa độ các điểm 
.
Giải rút gọn:
a) 
; 
b) 
Giải rút gọn bài 2 trang 56 sách toán 12 tập 1 ctst: Trong không gian Oxyz, biết:
a) 
. Tính 
theo các vectơ 
.
b) 
. Tính 
theo các vectơ 
.
Giải rút gọn:
a) 
b) 
Giải rút gọn bài 3 trang 56 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho tứ diện 
có 
là tam giác vuông tại 
, 
, 
vuông góc với mặt phẳng 
và có độ dài bằng 2 (Hình 13).
a) Xác định một hệ tọa độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ các điểm 
.
Giải rút gọn:
a) Chọn hệ trục 
với gốc tọa độ 
trùng với điểm 
như hình vẽ. Các vectơ đơn vị trên ba trục 
lần lượt là 
với độ dài của 
lần lượt bằng 
.
b) 
Giải rút gọn bài 4 trang 57 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hình chóp 
có đáy 
là tam giác đều cạnh bằng 2, 
vuông góc với đáy và 
bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, hãy vẽ các vectơ đơn vị trên các trục 
và tìm tọa độ của các điểm 
.
Giải rút gọn:
Các vectơ đơn vị trên các trục 
lần lượt là 
với 
là điểm thuộc tia 
sao cho 
và 
là điểm thuộc tia 
sao cho 
.
Vì 
đều và 
nên 
là trung điểm của 
.
Mà ta có 
nên 
và 
.
Vì 
và 
ngược hướng và 
nên 
. Từ đó 
.
Vì 
cùng hướng và 
nên 
. Từ đó 
.
Vì 
cùng hướng và 
nên 
. Từ đó 
.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có 
nên 
.
Giải rút gọn bài 5 trang 57 sách toán 12 tập 1 ctst: Trong không gian 
, cho hình chóp 
có đáy 
là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo 
và 
trùng với gốc 
. Các vectơ 
lần lượt cùng hướng với 
và 
(Hình 15). Tìm tọa độ các vectơ 
và 
với 
là trung điểm của cạnh 
.
Giải rút gọn:
Vì 
là hình thoi cạnh bằng 5, 
là giao điểm của 
và 
nên 
là trung điểm của 
và 
.
Xét 
vuông tại 
, có 
Vì 
cùng hướng và 
nên 
Vì 
và 
ngược hướng và 
nên 
Ta có 
nên 
Ta có 
mà 
cùng hướng nên 
. Vì vậy, 
= (0; 8; 0)
Có 
cùng hướng và 
nên 
Có 
nên 
Có 
nên 
Giải rút gọn bài 6 trang 57 sách toán 12 tập 1 ctst: Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp 
trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ 
như Hình 16 với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Tìm tọa độ của vectơ 
.
Giải rút gọn:
Xét 
vuông tại 
, có 
.
Mà 
nên 
Suy ra: 
nên 
Giải rút gọn bài 7 trang 57 sách toán 12 tập 1 ctst: Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm 
trong không gian 
như Hình 17. Gọi 
là hình chiếu vuông góc của 
xuống mặt phẳng 
. Cho biết 
, mặt phẳng 
. Cho biết 
, 
= 64°, 
= 48°. Tìm tọa độ của điểm 
.
Giải rút gọn:
Giả sử 
.
Ta có:
nên 
.
Có 
là hình bình hành nên 
và 
là hình bình hành nên 
.
Xét 
vuông tại 
, ta có 
.
.
Xét 
vuông tại 
, có:
.
Xét 
vuông tại 
, có:
.
Vì 
cùng hướng và 
nên 
.
Vì 
cùng hướng và 
nên 
.
Vì 
cùng hướng và 
nên 
.
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
.