Câu 6: Trang 50 - sgk hình học 12
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên ∆ lấy điểm S sao cho $OS=\frac{a}{2}$ .
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Bài Làm:
Qua O vẽ đường thẳng $d\perp (ABCD)$
=> d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Gọi H là trung điểm cạnh SA => SH = AH.
Ta có: $\triangle SAO\sim \triangle SIH$
=> $\frac{SA}{SO}=\frac{SI}{SH}$
=> $SI=\frac{SA.SH}{SO}=\frac{SA^{2}}{2SO}$
Mặt khác: $SA^{2}=SO^{2}+OA^{2}=\frac{3a^{2}}{4}$
=> $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
=> $SI=\frac{3a}{4}$
=> $SI=IA=IB=IC=ID=\frac{3a}{4}$
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính $R=SI=\frac{3a}{4}$.
=> Diện tích mặt cầu là: $S=4\prod R^{2}=4\prod (\frac{3a}{4})^{2}=\frac{9a^{2}\prod }{4}$ (đvdt)
Thể tích khối cầu là: $V=\frac{4}{3}\prod r^{2}=\frac{4}{3}\prod (\frac{3a}{4})^{2}=\frac{3\prod a^{2}}{4}$ (đvtt)