A. Tổng hợp kiến thức
I. Tọa độ điểm và vectơ
Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$
=> Bộ ba số ( x; y; z ) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz .
Ký hiệu: M = ( x; y; z ) hay M( x; y; z ).
Ta có: $\overrightarrow{a}=a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}$
=> Bộ ba số $( a_{1}; a_{2}; a_{3} )$ là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ với hệ trục tọa độ Oxyz .
Ký hiệu: $\overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ hay $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$.
II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
- Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$. Ta có:
|
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})$ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})$ $k\overrightarrow{a}=k(a_{1};a_{2};a_{3})$ với k là số thực |
==> Hệ quả:
|
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}<=>a_{1}=b_{1};a_{2}=b_{2};a_{3}=b_{3}$ $\overrightarrow{0}=(0;0;0)$ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương <=> $a_{1}=kb_{1};a_{2}=kb_{2};a_{3}=kb_{3}$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})$ |
III. Tích vô hướng
Định lí
- Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ xác định bởi:
| $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3})$ |
Ứng dụng
- Độ dài vectơ:
| $\overrightarrow{a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$ |
- Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A},y_{A},z_{A})$ và $B(x_{B},y_{B},z_{B})$, ta có:
| $AB=\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$ |
- Góc giữa hai vectơ: Góc giữa $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ là $\varphi $
| $\cos\varphi =\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ |
- Đặc biệt:
| $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}<=> a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$ |
IV. Phương trình mặt cầu
Định lí
- Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:
| $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$ |
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=(2;-5;3)$, $\overrightarrow{b}=(0;2;-1)$, $\overrightarrow{c}=(1;7;2)$
a) Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$
b) Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$
Xem lời giải
Câu 2: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(0; 1; 2), C(1;0;1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Xem lời giải
Câu 3: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết $A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1),C' (4; 5; -5)$.
Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Xem lời giải
Câu 4: Trang 68 - sgk hình học 12
a) Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ với $\overrightarrow{a}=(3;0;-6)$ và $\overrightarrow{b}=(2;-4;0)$
b) Tính $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}$ với $\overrightarrow{c}=(1;-5;2)$ và $\overrightarrow{b}=(4;3;-5)$
Xem lời giải
Câu 5: Trang 68 - sgk hình học 12
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây:
a) $x^{2} + y^{2} + z^{2}– 8x – 2y + 1 = 0$
b) $3x^{2}+ 3y^{2} + 3z^{2}– 6x + 8y + 15z – 3 = 0$
Xem lời giải
Câu 6: Trang 68 - sgk hình học 12
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a) Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
Xem lời giải
Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Tìm toạ độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thoả mãn một số điều kiện cho trước
Xem lời giải
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức vectơ