A. Tổng hợp kiến thức
I. Phương trình mặt phẳng
Cho mp($\alpha$), nếu $\overrightarrow{n}\neq 0$ và có giá vuông góc với mp($\alpha$) thì $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $\alpha$.
- Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
- $\overrightarrow{n}$ được xác định bởi tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$
- Ký hiệu: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$ hay $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}]$
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
| $Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C\neq 0$. |
- Nếu $A,B,C,D\neq 0$ => ta có phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn:
| $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ |
II. Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc
1. Điều kiện hai mặt phẳng song song
- $(\alpha _{1})//(\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.$
- $(\alpha _{1})\equiv (\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.$
- $(\alpha _{1})$ cắt $(\alpha _{2})$ <=> $\overrightarrow{n_{1}}\neq k\overrightarrow{n_{2}}<=>(A_{1};B_{1};C_{1})\neq k(A_{2};B_{2};C_{2}) $
2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
- $(\alpha _{1})\perp (\alpha _{2})<=>\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}=0<=>A_{1}.A_{2}+B_{1}.B_{2}+C_{1}.C_{2}=0$
III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định lí
- Trong không gian Oxyz, cho mp($(\alpha )$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ và điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$. Khoảng cách từ M đến mp($(\alpha )$ xác định bởi công thức:
| $d(M_{0},(\alpha ))=\frac{\left | Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ |
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1: Trang 80 - sgk hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận $\overrightarrow{n}=(2;3;5)$ làm vectơ pháp tuyến.
b) Đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và song song với giá của các vectơ $\overrightarrow{u}=(3;2;1)$ và $\overrightarrow{u}=(-3;0;1)$
c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).
Xem lời giải
Câu 2: Trang 80 - sgk hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3).
Xem lời giải
Câu 3: Trang 80 - sgk hình học 12
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Xem lời giải
Câu 4: Trang 80 - sgk hình học 12
Lập phương trình mặt phẳng:
a) Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2).
b) Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3).
c) Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7).
Xem lời giải
Câu 5: Trang 80 - sgk hình học 12
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Xem lời giải
Câu 6: Trang 80 - sgk hình học 12
Hãy viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) đi qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng ($\beta$) : $2x – y + 3z + 4 = 0$.
Xem lời giải
Câu 7: Trang 80 - sgk hình học 12
Lập phương trình mặt phẳng ($\alpha$) qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng ($\beta$): $2x – y + z – 7 = 0$.
Xem lời giải
Câu 8: Trang 80 - sgk hình học 12
Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau;
a) $2x + my + 3z – 5 = 0$ và $nx – 8y – 6z + 2 =0$
b) $3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $2x + ny – 3z + 1 = 0$
Xem lời giải
Câu 9: Trang 81 - sgk hình học 12
Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) $2x – y + 2z – 9 = 0 (\alpha)$
b) $12x – 5z + 5 = 0 ( \beta)$
c) $x=0$
Xem lời giải
Câu 10: Trang 81 - sgk hình học 12
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Xem lời giải
Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 1 điểm và biết VTPT hoặc cặp VTCP
Xem lời giải
Dạng 2: VIết phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và song song với mặt phẳng (Q).
Xem lời giải
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng (Q).
Xem lời giải
Dạng 4: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng