Câu 4: Trang 50 - sgk hình học 12
Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh.
Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Bài Làm:
Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $SA, SB, SC$.
$D, E, F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$ và đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $AB, BC, CA$.
Ta có: $AD = AF => AB = AC$
$BD = BE => BC = AB$
=> $AB = BC = CA$
=>△ABC là tam giác đều. (1)
Mặt khác: $AM = AD$
$BN = BD = AD$
$SM = SN = SP$
=> $SM + AM = SN + NB$
=> $SA = SB$
Tương tự: $SA = SB = SC$
Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S
Ta có: $△SHA = △SHB =△SHC$
=> $HA = HB = HC$
=> H là tâm của tam giác đều ABC, (2)
Từ (1), (2) => hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều. (đpcm)