Bài Làm:
Lời giải bài 3:
Đề ra :
Cho x , y là các số thực không âm.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=\frac{(x^{2}-y^{2})(1-x^{2}y^{2})}{(1+x^{2})^{2}(1+y^{2})^{2}}$
Lời giải chi tiết :
Ta có : $\frac{(a+b)^{2}}{4}\geq ab,\forall a,b$ (*)
Dấu " = " xảy ra <=> a = b .
Đặt $\frac{x^{2}+y^{2}}{(1+x^{2})(1+y^{2})}=a$
$\frac{1-x^{2}y^{2}}{(1+x^{2})(1+y^{2})}=b$
Từ (1) => $P=ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}$
=> $P\leq \frac{1}{4}\left [ \frac{x^{2}-y^{2}+1-x^{2}y^{2}}{(1+x^{2})(1+y^{2})} \right ]^{2}$
<=> $P\leq \frac{1}{4}\left [ \frac{(x^{2}+1)(1-y^{2})}{(1+x^{2})(1+y^{2})} \right ]^{2}$
<=> $P\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1-y^{2}}{1+y^{2}} \right )^{2}$
Mà : $0\leq \left ( \frac{1-y^{2}}{1+y^{2}} \right )^{2}\leq 1,\forall y$
=> $P_{max}=\frac{1}{4}$
Vậy $P_{max}=\frac{1}{4}$ .
Dấu " = " xảy ra <=> $\left\{\begin{matrix}a=b & \\ (1-y^{2})^{2}=(1+y^{2})^{2} & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x=1& \\ y=0& \end{matrix}\right.$ .