Lời giải Bài 1 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 1:

Đề ra : 

a.  Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì  $n ^{4}+ 2015n^{2}$ chia hết cho 12.

b.  Giải hệ phương trình sau :  $\left\{\begin{matrix}2x^{2}+3xy+y^{2}=12 & \\ x^{2}-xy+3y^{2}=11 & \end{matrix}\right.$

Lời giải chi tiết :

a.  Ta có : $n ^{4}+ 2015n^{2}=n^{2}(n^{2}+2015)$

+  Nếu n chẵn thì n² chia hết cho 4.

+  Nếu n lẻ thì n² + 2015 chia hết cho 4.

=>   n⁴ + 2015n² chia hết cho 4.

Mặt khác , ta có :

+  Nếu n chia hết cho 3 thì n⁴ + 2015n² chia hết cho 3 .

+  Nếu n chia 3 dư 1 hoặc dư 2 thì n⁴ + 2015n² chia hết cho 3.

=>   n⁴ + 2015n² chia hết cho 3.   

Mà : (4, 3) = 1 =>   n⁴ + 2015n²  chia hết cho 12.   ( đpcm )

b.      $\left\{\begin{matrix}2x^{2}+3xy+y^{2}=12 (1) & \\ x^{2}-xy+3y^{2}=11 (2) & \end{matrix}\right.$

Lấy (1) nhân với 11 , và (2) nhân với 12, ta được hệ  mới :

<=>  $\left\{\begin{matrix}22x^{2}+33xy+11y^{2}=121 (1') & \\ 12x^{2}-12xy+36y^{2}=121 (2') & \end{matrix}\right.$

Lấy (1') - (2') , ta được phương trình : $10x^{2}+45xy-25y^{2}=0$

<=>  $(2x-y)(x+5y)=0$

<=>  Hoặc  $x=\frac{y}{2}$ hoặc x = -5y .

+  Với  $x=\frac{y}{2}$  , thay vào hệ trên ta được :  $\left\{\begin{matrix}x=\pm 1 & \\ y=\pm 2 & \end{matrix}\right.$

+  Với  x = - 5y , thay vào hệ trên ta được :  $\left\{\begin{matrix}x=\pm  \frac{5\sqrt{3}}{3}& \\ y= \frac{\sqrt{3}}{3}& \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm ( x ; y ) = { ( $\left\{\begin{matrix}x=\pm 1 & \\ y=\pm 2 & \end{matrix}\right.$ ) , (  $\left\{\begin{matrix}x=\pm  \frac{5\sqrt{3}}{3}& \\ y= \frac{\sqrt{3}}{3}& \end{matrix}\right.$ ) }