Bài Làm:
Lời giải bài 4:
Đề ra :
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, hai tiếp tuyến Ax, By của (O) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB. Tiếp tuyến tại M tùy ý của (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D ( $M\neq A,B$ ) .
a) Chứng minh tứ giác ACMO .
b) Chứng minh OC vuông góc OD và $AC.BD=R^{2}$ .
c) Gọi N là giao điểm của AD và BC, MN cắt AB tại H. Chứng minh MN // AC và N là trung điểm của MH.
Lời giải chi tiết :
a. Vì : $\left\{\begin{matrix}OA\perp AC & \\ OM\perp MC & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}\widehat{OAC}=90 ^{\circ}& \\ \widehat{OMC}=90 ^{\circ} & \end{matrix}\right.$
=> $\widehat{OAC}+\widehat{OMC}=180 ^{\circ}$
=> Tứ giác OACM nội tiếp ( đpcm ) .
=> Tương tự : Tứ giác BDMO nội tiếp .
b.
- CA, CM là tiếp tuyến của (O) => OC là phân giác $\widehat{AOM}$ .
- DB, DM là tiếp tuyến của (O) => OD là phân giác $\widehat{BOM}$ .
Mà $\widehat{AOM},\widehat{BOM}$ là 2 góc kề bù => $OC\perp OD$ .
Xét tam giác vuông OCD , ta có :
- OM là đường cao => $MC.MD=OM^{2}=R^{2}$ .
- Do MC = AC, MD = BD ( 2 tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm ) => $AC.BD=R^{2}$
=> ( đpcm ) .
c. Ta có : AC // BD => $\frac{ND}{NA}=\frac{DB}{CA}$
Mà : CA = CM, DB = DM => $\frac{ND}{NA}=\frac{DM}{CM}$
=> MN // AC .
=> MH // AC // BD
=> $\frac{MN}{AC}=\frac{DM}{DC}=\frac{BN}{BC}=\frac{NH}{AC}$
=> $MN=NH$ hay N là trung điểm của MH . ( đpcm )