Đề thi thử vào 10 môn Toán năm 2017 Trường THPT chuyên Amtesdam Lần 1
Ngày thi : 20 - 02 - 2017
Thời gian làm bài : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )
Bài 1 : (2,0 điểm)
1. Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 0 . Tính giá trị biểu thức : $P=\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}$ .
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}(x-y+1)-(x-1)y=22$ .
Bài 2 : (2,0 điểm)
1. Giải phương trình : $\sqrt[3]{x+6}+x^{2}=7-\sqrt{x-1}$
2. Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}2x(x-1)+(y-1)(2y+1)=0 & \\ 2y^{2}+2x+y+1=6xy & \end{matrix}\right.$
Bài 3 : (2,0 điểm)
Cho a , b , c là các số thực dương.
Chứng minh rằng : $\frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}\geq 0$
Bài 4 : (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O, R) , dây BC cố định và $\widehat{BOC}=120^{\circ}$ . Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ ABC nhọn. Hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M và E là điểm đối xứng với C qua N. Đường tròn $(O_{1};R_{1})$ ngoại tiếp ∆ ABD và đường tròn $(O_{2};R_{2})$ ngoại tiếp ∆ ACE cắt nhau tại điểm thứ hai K.
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCK nội tiếp.
2. Chứng minh rằng $MN//O_{1}O_{2}$ và ba điểm E, B, K thẳng hàng.
Bài 5 : (1,0 điểm)
Cho $2\leq a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{15}\leq 2016$ là 15 số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên đó luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố.
- - - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - - -