CHƯƠNG VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^{2}+bx+c}$=$\sqrt{dx^{2}+ex+f}$
HĐKP1:
Thay x = 2 và x = -4 vào phương trình ta thấy nó thỏa mãn phương trình. Vậy x = 2 và x = -4 là nghiệm của phương trình
Mặc dù kết quả đúng nhưng lời giải trên thiếu bước thử nghiệm lại kết quả
Kết luận:
- Để giải phương trình $\sqrt{ax^{2}+bx+c}$=$\sqrt{dx^{2}+ex+f}$ ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình
ax$^{2}$+bx+c = dx$^{2}$+ex+f.
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết lụận nghiệm.
Ví dụ 1: SGK – tr15
Thực hành 1:
$\sqrt{31x^{2}-58x+1}$=$\sqrt{10x^{2}-11x-19}$
=> 31x$^{2}$-58x+1=10x$^{2}$-11x-19
21x$^{2}$-47x+20=0
x=$\frac{4}{7}$ hoặc x=$\frac{5}{3}$
Thay lần lượt x vào phương trình ta thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn phương trình
2. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^{2}+bx+c}$=dx+e
HĐKP2:
Thay lần lượt các giá trị của x vào phương trình ta thấy cả hai đều thỏa mãn.
Mặc dù kết quả đúng nhưng lời giải trên thiếu bước thử nghiệm lại kết quả.
Kết luận:
- Để giải phương trình $\sqrt{ax^{2}+bx+c}$=dx+e, ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình ax$^{2}$+bx+c = (dx+e)$^{2}$.
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết lụận nghiệm.
Ví dụ 2: SGK – tr15
Thực hành 2:
$\sqrt{3x^{2}+27x-41}$=2x+3
⇒3x$^{2}$+27x-41=(2x+3)$^{2}$
⇒3x$^{2}$+27x-41=4x$^{2}$+12x+9
x$^{2}$-15x+50=0
<=> x=10 hoặc x=5
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 5 và x = 10 đều thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 10 hoặc x = 5.
Vận dụng:
Xét tam giác vuông CBO có: ($\widehat{CBO}$=90$^{\circ}$)
CO$^{2}$=CB$^{2}$+BO$^{2}$=(x-1)$^{2}$+x$^{2}$=2x$^{2}$-2x+1 (ĐL Pytago)
⇒CO=$\sqrt{2x^{2}-2x+1}$
Xét tam giác vuông ABO có: ($\widehat{BAO}$=90$^{\circ}$)
BO$^{2}$=BA$^{2}$+AO$^{2}$ (ĐL Pytago)
⇒AO$^{2}$=BO$^{2}$-BA$^{2}$
=x$^{2}$-(x-1)$^{2}$
=2x-1
⇒AO=$\sqrt{2x-1}$
a) OC = 3.OA
$\sqrt{2x^{2}-2x+1}$=3.$\sqrt{2x-1}$ (x > 1)
2x$^{2}$-2x+1=9.(2x-1)
2x$^{2}$-20x+10=0
=> x=5+2$\sqrt{5}$ (thỏa mãn điều kiện x > 1) hoặc x=5-2$\sqrt{5}$ (loại do x>1)
=> OB = 5+2$\sqrt{5}$-1 = 4+2$\sqrt{5}$ cm
b) OC=$\frac{5}{4}$OB
$\sqrt{2x^{2}-2x+1}$=$\frac{5}{4}$.x
2x$^{2}$-2x+1=$\frac{25}{16}$.x${2}$
$\frac{7}{16}$x$^{2}$-2x+1=0
x=4 (thỏa mãn x >1) hoặc x=$\frac{4}{7}$ (loại do x>1)
=> OB = 3 cm