CHƯƠNG VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
BÀI 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. TAM THỨC BẬC HAI
HĐKP1.
a) Biểu thức y = f(x) = -x$^{2}$ + x + 3 được biểu diễn trong Hình 1 là đa thức bậc hai.
b) Có: f(2) = −2$^{2}$ + 2 + 3 = 1 > 0
Vậy f(2) mang dấu dương.
=> Kết luận:
Đa thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.
* Lưu ý:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0). Khi thay x bằng giá trị x$_{0}$ vào f(x), ta được f(x$_{0}$) = a x$_{0}^{2}$ + bx$_{0}$ + c, gọi là giá trị của tam thức bậc hai tại x$_{0}$.
+ Nếu f(x$_{0}$) > 0 thì ta nói f(x) dương tại x$_{0}$.
+ Nếu f(x$_{0}$) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x$_{0}$.
+ Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm)trên khoảng hoặc đoạn đó.
Ví dụ 1: SGK – tr7.
Thực hành 1:
a) Biểu thức f(x) = −2x$^{2}$ + x - 1 là một tam thức bậc hai.
f(1) =2.1$^{2}$ + 1−1 = 2 > 0
⇒ f(x) dương tại x = 1
b) Biểu thức g(x) =−x$^{4}$ + 2x$^{2}$ + 1 không là tam thức bậc hai.
c) h(x)= −x$^{2}$ + $\sqrt{2}$x −3 là tam thức bậc hai.
h(1) = −1$^{2}$ + $\sqrt{2}$.1 – 3
= −4 + 2 $\approx $ -2,6 < 0
=> h(x) âm tại x = 1.
Kết luận:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0). Khi đó:
+ Nghiệm của phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c = 0 là nghiệm của f(x).
+ Biểu thức ∆ = b$^{2}$ – 4ac và ∆'= ($\frac{b}{2}$)$^{2}$- ac lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x)
Ví dụ 2: SGK – tr7
Thực hành 2:
a) Tam thức bậc hai y=f(x)=2x$^{2}$-5x+2 có :
Δ=(-5)$^{2}$-4.2.2=9 >0
f(x) có hai nghiệm phân biệt là:
x$_{1}$=$\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2.2}$=2 và x$_{2}$=$\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2.2}$=12
b) Tam thức bậc hai y=g(x)=-x$^{2}$+6x-9 có :
Δ=(6)$^{2}$-4.(-1).(-9)=0
=> g(x) có nghiệm kép là:
x$_{1}$=x$_{2}$=$\frac{-6}{2.(-1)}$=3
c) Tam thức bậc hai y=h(x)=4x$^{2}$-4x+9 có :
Δ=(-4)$^{2}$-4.4.9=-128 < 0
=> g(x) vô nghiệm.
2. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
HĐKP2.
+ Hình a:
y=f(x)=-x$^{2}$+2x-2
Δ<0 ; f(x) vô nghiệm
Có a = -1 < 0; f(x) < 0, mọi x∈R
+ Hình b:
y=f(x)=-x$^{2}$+2x-1.
Δ=0; f(x) có nghiệm kép x$_{1}$ = x$_{2}$ = 1
Có a = -1 <0; f(x) <0, mọi x∈R \{1}
+ Hình c:
y=f(x)=-x$^{2}$+2x+3
Δ>0 ; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x$_{1}$ = -1 và x$_{2}$ = 3.
Có: a = -1 < 0; f(x) < 0 khi x∈(-∞;- 1)U(3;+ ∞) .
+ Hình d:
y=f(x)=x$^{2}$+6x+10
Δ<0 ; f(x) vô nghiệm.
Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R
+ Hình e:
y=f(x)=x$^{2}$+6x+9
Δ=0 ; f(x) có nghiệm kép x$_{1}$ = x$_{2}$ = -3
Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R \{-3}
Hình g:
y=f(x)=x$^{2}$+6x+8
Δ>0; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x$_{1}$ = -4 và x$_{2}$ = -2.
Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 khi x∈(-∞;- 4)U(-2;+∞)
=> Kết luận:
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax$^{2}$ + bx + c (a $\neq $ 0)
+ Nếu ∆ <0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.
+ Nếu ∆ =0 và x$_{0}$ = -$\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x$_{0}$ .
+ Nếu ∆ >0 và x$_{1}$; x$_{2}$ là hai nghiệm của f(x) (x$_{1}$ < x$_{2}$) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x$_{1}$; x$_{2}$); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; x$_{1}$) ; (x$_{2}$; +∞).
* Chú ý:
a) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ +bx+c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ∆ ;
Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có);
Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;
Bước 4: Xác định dấu của f(x).
Ví dụ 3: SGK – tr9
Thực hành 3.
a) f(x)=2x$^{2}$-3x-2 có: =25 > 0, hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ = -$\frac{1}{2}$ và x$_{2}$ = -2.
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Vậy f(x) dương trong khoảng (-∞; -$\frac{1}{2}$)U(-$\frac{1}{2}$ ; +∞) và âm trong khoảng (-$\frac{1}{2}$ ; 2).
b) g(x)=-x$^{2}$+2x-3 có: Δ=-8 < 0 và a = -1 < 0.
Vậy g(x) âm với mọi x∈R.
Vận dụng:
y=h(x)=-0,006x$^{2}$+1,2x-30
có: Δ=1825>0 hai nghiệm phân biệt là:
x$_{1}$=$\frac{-1,2+\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\frac{-3}{250}}$=100-50$\sqrt{2}$
x$_{2}$=$\frac{-1,2-\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\frac{-3}{250}}$=100+50$\sqrt{2}$
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu khi x∈(100-50$\sqrt{2}$;100+50$\sqrt{2}$) và thấp hơn mặt cầu khi x∈(-∞; 100-50$\sqrt{2}$)U(100+50$\sqrt{2}$;+ ∞ )