I. ĐỊNH NGHĨA
HĐ1
Trong tứ giác ABCD có:
- $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}$ = 90°
- AB = BC = CD = DA
Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Ví dụ 1: (SGK – tr.116)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.116).
II. TÍNH CHẤT
HĐ2
a) Mỗi hình vuông là một hình chữ nhật, vì có 4 góc vuông.
b) Mỗi hình vuông là một hình thoi, vì có 4 cạnh bằng nhau.
Nhận xét: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Định lí: Trong một hình vuông:
- Các cạnh đối song song;
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường.
- Hai đường chéo là các đường phân giác của góc ở đỉnh.
Ví dụ 2: (SGK – tr.117)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.117).
Luyện tập 1
Do ABCD là hình vuông $\widehat{DAB}=90^{o}$ và AC là tia phân giác của $\widehat{DAB}$
=> $\widehat{CAB}=\widehat{DAC}=\frac{1}{2}\widehat{DAB}=\frac{1}{2}.90^{o}=45^{o}$
Ví dụ 3: (SGK – tr.117)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.117).
III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
HĐ3
a) Do ABCD là hình chữ nhật nên:
$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}$ = 90° và AB = CD; AD = BC.
Mà AB = BC => AB = BC = CD = DA
Tứ giác ABCD có 4 góc vuông, 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông.
b)
Vì ABCD là hình chữ nhật => Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường.
Mà AC ⊥ BD => AC là trung trực của BD
Do ABCD là hình chữ nhật => $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}$ = 90° và AB = CD; AD = BC
Mà AC là trung trực của BD
=> AB = AD; CB = CD
=> AB = BC = CD = DA
Tứ giác ABCD có 4 góc vuông, 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông
c)
ABCD là hình chữ nhật => $\widehat{B}=90^{o}$ và AD // BC => $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$ (so le trong).
Có AC là tia phân giác của $\widehat{DAB}$ => $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}$
=> $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$.
∆ABC vuông tại B, có $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$
=> ∆ABC vuông cân tại B.
Do ∆ABC vuông cân tại B nên BA = BC
Theo kết quả câu a, hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề BA và BC bằng nhau nên là hình vuông.
Dấu hiệu nhận biết
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
Ví dụ 4: (SGK – tr.118)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.118)
Luyện tập 2
Xét 2 tam giác vuông GEC và HDB có:
- EC = DB (gt)
- $\widehat{C}=\widehat{B}$ (ABC là tam giác vuông cân tại A )
=> 2 tam giác vuông GEC và HDB bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn
=> GE = HD, GC = HB (1)
Tam gác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{C}=\widehat{B}$ = $45^{\circ}$
=> Tam giác DBH vuông cân tại D, hay
- DH = DB => GE = DB = DE (2)
- $\widehat{DHB}=\widehat{DBH}$ = $45^{\circ}$ (3)
Từ (1) GC = HB => GA = AH => tam giác AGH vuông cân tại H => $\widehat{AHG}=\widehat{AGH}$ = $45^{\circ}$ (4)
Từ (3) và (4) => $\widehat{GHD}$ = $180^{\circ}$ - $45^{\circ}$ - $45^{\circ}$ = $90^{\circ}$
Xét tứ giác EGHD có: 3 góc vuông $\widehat{GHD}$, $\widehat{HDE}$, $\widehat{DEG}$ nên góc còn lại $\widehat{EGH}$ cũng là góc vuông
=> EGHD là hình chữ nhật. Thêm nữa là có 2 cạnh liền kề GE = ED nên là hình vuông (đpcm)