Câu 4: Trang 99 - SGK Hình học 10
Cho tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(6cm\). Một điểm \(M\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM = 2cm\)
a) Tính độ dài của đoạn thẳng \(AM\) và tính cosin của góc \(BAM\)
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)
c) Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ \(C\) của tam giác \(ACM\)
d) Tính diện tích tam giác \(ABM\)
Bài Làm:
a) Tam giác $ABC$ đều => $\widehat{ABM}=60^0$ => $cos \widehat{ABM}=\frac{1}{2}$
Ta có:
\(\eqalign{& A{M^2} = B{A^2} + B{M^2} - 2BA.BM.\cos\widehat {ABM} \cr & \Rightarrow A{M^2} = 36 + 4 - 2.6.2.{1 \over 2} \cr & \Rightarrow A{M^2} = 28 \Rightarrow AM = 2\sqrt 7 (cm) \cr} \)
Ta cũng có:
\(\eqalign{& \cos \widehat {BAM }= {{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}} \over {2AB.AM}} \cr & \Rightarrow \cos\widehat { BAM } = {{6^2+(2\sqrt7)^2-2^2 } \over {2.6.2\sqrt7}} \cr & \Rightarrow \cos\widehat { BAM }={ {60} \over {24\sqrt7}} \cr & \Rightarrow \cos\widehat { BAM }= {{5\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \)
b) Tam giác \(ABM\) nội tiếp đường tròn bán kính $R$, theo định lí Sin ta có:
\(\eqalign{& {{AM} \over {\sin \widehat {ABM}}} = 2R \Leftrightarrow R = {{AM} \over {2\sin \widehat {ABM}}} \cr & R = {{2\sqrt 7 } \over {2\sin {{60}^0}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}(cm) \cr} \)
c) Gọi $P$ là trung điểm $AM$.
Trong tam giác $AMC$ có $CP$ là đường trung tuyến. Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
\(\eqalign{& C{P^2} = {{C{A^2} + C{M^2}} \over 2} - {{A{M^2}} \over 4} \cr & \Rightarrow C{P^2} = {{36 + 16} \over 2} - {{28} \over 4} \cr & \Rightarrow C{P^2} = 19 \Rightarrow CP = \sqrt {19} \cr}\)
d) Diện tích tam giác \(ABM\) là:
\(S = {1 \over 2}BA.BM\sin \widehat {ABM} = {1 \over 2}6.2\sin {60^0} = 3\sqrt 3 (c{m^2})\)