A - Trắc nghiệm
Bài tập 5.18 trang 123 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là:
A. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=-\infty $
B. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=1$
C. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty $
D. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=0$
Bài Làm:
Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n})$
$=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}(1+\frac{1}{n^{n}})}-\sqrt{n})$
$=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\sqrt{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}[n(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})]$
Vì $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}n=+\infty$ và $ \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})=1>0$
Do đó $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}[n(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})]=+\infty $
Vạy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty $
Đáp án: C