8.30. Ông giám đốc vườn thú mua 10 con vật để nhốt vào 10 cái chuồng mới xây. Thế nhưng có 3 cái chuồng lại không vừa so với 5 con vật lớn nhất. Hỏi vị giám đốc có bao nhiêu cách nhốt 10 con vật, mỗi con trong một chuồng?
Bài Làm:
5 con vật lớn nhất phải được nhốt vào các chuồng phù hợp với kích cỡ của chúng. Số chuồng như vậy là 10 – 3 = 7.
Để nhốt các con vật thì vị giám đốc có thể tiến hành qua 2 công đoạn như sau:
- Công đoạn 1: nhốt 5 con vật lớn nhất vào 5 trong 7 cái chuồng phù hợp với chúng;
- Công đoạn 2: nhốt 5 con vật còn lại vào 5 cái chuồng còn lại.
Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số cách lấy ra 5 phần tử có thứ tự từ một tập hợp có 7 phần tử, nghĩa là bằng
$A_{7}^{5}=\frac{7!}{(7-5)!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2!}{2!}=7\times 6\times 5\times 4\times 3=2520$(cách).
Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số các hoán vị của 5 phần tử, nghĩa là bằng:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 (cách)
Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách nhốt là: 2 520 x 120 = 302 400 (cách).
