7.33. Cho đa thức P(x). Chứng minh rằng:
a) Nếu P(x) chia hết cho x - a thì a là một nghiệm của đa thức P(x);
b) Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a.
Bài Làm:
a) Giả sử P(x) chia hết cho x - a. Gọi Q(x) là đa thức thương, ta có: P(x) = (x-a)Q(x) (1)
Từ đẳng thức (1), ta có P(a) = 0. Vậy a là một nghiệm của P(x).
b) Ngược lại, cho a là một nghiệm của P(x). Giả sử chia P(x) cho x - a, ta được thương là Q(x) và dư R(x), nghĩa là ta có:
P(x) = (x - a)Q(x) + R(x). (2)
Trong đó hoặc R(x) = 0 hoặc nếu R(x) $\neq $0 thì R(x) phải có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức x - a, tức là nhỏ hơn 1.
Sau đây, ta sẽ chứng tỏ rằng chỉ có thể xảy ra R(x) = 0.
Thật vậy, nếu R(x) $\neq $ 0 thì do bậc của R(x) nhỏ hơn 1 nên R(x) có bậc 0. Nói cách khác, R(x) là một số khác 0 nào đó. Nhưng điều đó là vô lí vì khi đó đẳng thức (2) không thể xảy ra, chẳng hạn khi x = a thì vế trái bằng 0 trong khi vế phải khác 0.
Vậy chỉ có thể xảy ra P(x) = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x - a.