Bài Làm:
Lời giải câu 4 :
Đề bài :
Cho hai đường tròn (O;R) và (O' ; R' ) cắt nhau tại A và B ( OO' > R > R' ). Trên nửa mặp phẳng bờ là OO' có chứa điểm A, kẻ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn trên ( với M thuộc (O) và N thuộc (O' ) ).Biết BM cắt (O' ) tại điểm E nằm trong (O) và đường thẳng AB cắt MN tại I.
a. Chứng minh rằng : $\widehat{MAN}+\widehat{MBN}=180^{\circ}$ và I là trung điểm của MN.
b. Qua B , kẻ đường thẳng (d) // MN , (d) cắt (O) tại C và (O' ) tại D (với C, D khác B ).Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của CD và EM.Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACD và các điểm A, B , P , Q cùng thuộc một đường tròn .
c. Chứng minh tam giác BIP cân .
Hướng dẫn giải chi tiết :
Ta có : $\widehat{IMA}=\widehat{ABM}$
$\widehat{MIA}=\widehat{MIB}$
=> $\widehat{MBN}+\widehat{MAN}=\widehat{ABM}+\widehat{ABN}+\widehat{MAN}=$
= $\widehat{IMA}+\widehat{INA}+\widehat{MAN}=180^{\circ}$
=> $\triangle IMA\sim \triangle IBM$
=> $IM^{2}=IA.IB$ (*)
Tương tự, ta có : $IN^{2}=IA.IB$ (**)
Từ (*) , (**) => IM = IN
=> I là trung điểm của đoạn MN . (đpcm)
b.
Xét tứ giác AEBD có :
$\widehat{AME}=\widehat{ACD}$
$\widehat{AEM}=\widehat{ADC}$
=> $\triangle AME\sim \triangle ACD$
=> $\widehat{AEQ}=\widehat{ADC},\frac{AE}{AD}=\frac{EM}{DC}=\frac{EQ}{DP}$
=> $\triangle AEQ\sim \triangle ADP$
=> $\widehat{AQE}=\widehat{APD}$
=> Tứ giác ABPQ nội tiếp đường tròn .
Vậy các điểm A, B , P , Q cùng thuộc một đường tròn .
c. Gọi K là giao điểm của CM và DN .
Do CDNM là hình thang => I , K , P thẳng hàng .
Ta có : MN // BC => $OM\perp BC$
=> $\triangle MNC$ cân tại M .
=> $\widehat{MCB}=\widehat{MBC}$
Mặt khác , ta lại có :
$\widehat{MCB}=\widehat{KMN}$
$\widehat{MBC}=\widehat{BMN}$
=> $\widehat{KMN}=\widehat{BMN}$
Tương tự : $\widehat{KNM}=\widehat{BNM}$
=> $\triangle BMN= \triangle KMN$
=> $\left\{\begin{matrix}MB=MK & \\ NB=NK & \end{matrix}\right.$
=> MN là đường trung trực của AB .
=> $\left\{\begin{matrix}BK\perp CD & \\ IK=IB & \end{matrix}\right.$
=> $\triangle KBP$ vuông tại B .
=> I là trung điểm của KP .
=> IK = IP .
Vậy $\triangle BIP$ cân tại I .