Bài Làm:
Lời giải câu 2 :
Đề bài :
a. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( p;q) thỏa mãn $p^{2}-5q^{2}=4$ .
b. Cho đa thức $f(x)=x^{2}+bx+c$ biết b, c là các hệ số dương và f(x) có nghiệm .
Chứng minh $f(2)\geq 9\sqrt[3]{c}$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Ta có : $p^{2}-5q^{2}=4<=>p^{2}-4=5q^{2} $ .
<=> $(p-2)(p+2)=5q^{2}$
Do 0 < p - 2 < p + 2 và q là số nguyên tố => p - 2 chỉ nhận bộ giá trị $\begin{Bmatrix}1;5;q;q^{2}\end{Bmatrix}$
Ta có bảng tính toán :
Theo bài ra : p và q là những số nguyên tố => (p; q) =( 7; 3 ) . (thỏa mãn )
Vậy (p ; q) = ( 7; 3) .
b. Để f(x) có nghiệm <=> $\Delta \geq 0<=> b^{2}\geq 4c<=> b\geq 2\sqrt{c}$
=> $f(2)=4+2b+c\geq 4+4\sqrt{c}+c=(\sqrt{c}+2)^{2}$
Ta lại có : $\sqrt{c}+2=\sqrt{c}+1+1\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{c}}$
<=> $f(2)\geq (3\sqrt[3]{\sqrt{c}})^{2}=9\sqrt[3]{c}$
=> (đpcm).