Bài Làm:
Lời giải câu 3 :
Đề bài :
Cho x, y ,z là 3 số dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz$ .Chứng minh :
$\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geq 1$ (*)
Hướng dẫn giải chi tiết :
Ta có :
+ $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y+2}{9}\geq 2\sqrt{\frac{x^{2}}{y+2}.\frac{y+2}{9}}=\frac{2}{3}x$
=> $\frac{x^{2}}{y+2}\geq \frac{6x-y-2}{9}$
+ $\frac{y^{2}}{z+2}\geq \frac{6y-z-2}{9}$
+ $\frac{z^{2}}{x+2}\geq \frac{6z-x-2}{9}$
=> $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geq \frac{5(x+y+z)-6}{9}$
Mặt khác : $\frac{(x+y+z)^{3}}{9}\geq 3xyz;x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{3}(x+y+z)^{2}$ (1)
=> $\frac{(x+y+z)^{3}}{9}\geq \frac{1}{3}(x+y+z)^{2}<=> x+y+z\geq 3$ (2)
Từ (1),(2) => $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geq 1$ (đpcm ).