Bài Làm:
Lời giải bài 4:
Đề ra :
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
a. Chứng minh : $ tanB.tanC = \frac{AD}{HD}$
b. Chứng minh : $DH.DA\leq \frac{BC^{2}}{4}$
c. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng : $\sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$
Lời giải chi tiết :
a.
Ta có : $\left\{\begin{matrix}\tan B=\frac{AD}{BD} & \\ \tan C=\frac{AD}{DC} & \end{matrix}\right.$
=> $\tan B.\tan C=\frac{AD^{2}}{BD.DC}$ (1)
Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có : $\widehat{DAC}=\widehat{DBH}$ ( cùng phụ góc C )
=> $\triangle ADC\sim \triangle BDH$
=> $\frac{AD}{DC}=\frac{BD}{DH}=>AD.DH=DB.DC$
=> $\frac{AD^{2}}{DB.DC}=\frac{AD}{HD}$ (2)
Từ (1), (2) => $ tanB.tanC = \frac{AD}{HD}$ ( đpcm )
b.
Theo câu (a) , ta có : $DH.DA=DB.DC\leq \frac{(DB+DC)^{2}}{4}=\frac{BC^{2}}{4}$
Vậy $DH.DA\leq \frac{BC^{2}}{4}$ ( đpcm )
c.
Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax .
Ta có : $\sin \widehat{MAB}=\sin \frac{A}{2}=\frac{BM}{AB}$
=> $BM=c.\sin \frac{A}{2}$ (1)
Tương tự : $CN=b.\sin \frac{A}{2}$ (2)
Lấy (1) + (2) => $BM + CN \leq BF+FC=BC=a$
=> $(b+c)\sin \frac{A}{2}\leq a=> \sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{b+c}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$
Vậy $\sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$ . ( đpcm )