Bài Làm:
Lời giải bài 4 :
Đề bài :
Cho đường tròn O đường kính BC và một điểm A nằm bất kì trên đường tròn ( A khác B và C ). Gọi AH là đường cao của DABC, đường tròn tâm I đường kính AH cắt các dây cung AB, AC tương ứng tại D, E.
a. Chứng minh rằng : góc $\widehat{DHE}=90^{\circ}$ và AB. AD = AC . AE .
b. Các tiếp tuyến của đường tròn (I) tại D và E cắt BC tương ứng tại G và F. Tính số đo góc GIF .
c. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Tứ giác ADHE có : $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}$
=> ADHE là hình chữ nhật .
=> $\widehat{DHE}=90^{\circ}$ ( đpcm ) .
Xét hai tam giác vuông HAB và HAC ta có : $AB.AD=AH^{2}$ ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
Mà : $AH^{2}=AC.AE$
=> AB. AD = AC . AE . ( đpcm )
b. Vì $\widehat{DHE}=90^{\circ}$ => DE là đường kính => $I\in DE$ .
=> $\widehat{GIF}=\frac{1}{2}\widehat{DIH}+\frac{1}{2}\widehat{HIE}=\frac{1}{2}\widehat{DIE}$
Mà : $\widehat{DIE}=180^{\circ}$ ( nhìn hình vẽ ) .
=> $\widehat{GIF}=90^{\circ}$ .
Vậy $\widehat{GIF}=90^{\circ}$ .
c. Tứ giác DEFG là hình thang vuông có đường cao DE = AH
Hai đáy DG = GH = GB = $\frac{1}{2}BH$ và EF = FC = FH = $\frac{1}{2}HC$
=> Diện tích hình tứ giác DEFG là : $S_{DEFG}=\frac{\frac{1}{2}(HB+HC).AH}{2}=\frac{BC.AH}{4}$
Để $S_{DEFG}$ đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất ( Vì BC = 2R - không đổi ) .
Khi đó AH sẽ phải là đường kính => A là trung điểm của cung AB .
Vậy A là trung điểm của cung AB trên đường tròn (O) thì tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất .