Bài Làm:
Lời giải bài 2 :
Đề bài :
Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}(m-1)x+y=2 & \\ mx+y=m+1 & \end{matrix}\right.$ (m là tham số)
a. Giải hệ phương trình khi m = 2.
b. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn : 2x + y ≤ 3 .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Khi m = 2 , thay vào hệ trên ta được : $\left\{\begin{matrix}x+y=2 & \\ 2x+y=3 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x=1& \\ x+y=2 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x=1& \\ y=1 & \end{matrix}\right.$
Vậy khi m = 2 thì hệ trên có nghiệm ( x ; y ) = ( 1 ; 1 ) .
b. $\left\{\begin{matrix}(m-1)x+y=2 & \\ mx+y=m+1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}y=2-(m-1)x & \\ mx+2-(m-1)x=m+1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}y=2-(m-1)x & \\ mx+2-mx+x=m+1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}y=2-(m-1)x & \\ x=m-1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}y=2-(m-1)(m-1) & \\ x=m-1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}y=-m^{2}+2m+1 & \\ x=m-1 & \end{matrix}\right.$
Vậy với mọi m , hệ phương trình luôn có nghiệm ( x ; y ) = ( m - 1 ; $-m^{2}+2m+1$ ) .
Ta có : 2x + y ≤ 3 <=> $2( m - 1 ) + (-m^{2}+2m+1)\leq 3$ (*)
Mà : $2( m - 1 ) + (-m^{2}+2m+1)=-m^{2}+4m-4=-(m-2)^{2}\leq 0$
=> (*) luôn đúng => 2x + y ≤ 3 .
Vậy với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn : 2x + y ≤ 3 . ( đpcm )