Bài Làm:
Lời giải bài 4 :
Đề bài :
Cho tứ giác ANPQ nội tiếp (O) đường kính AQ .Hai đường chéo AP và NQ cắt nhau tại E . Gọi F là điểm thuộc AQ sao cho EF vuông góc với AQ .Đường thẳng PF cắt (O) tại điểm thứ hai là K .NQ và PF cắt nhau tại L .Chứng minh rằng :
a. Tứ giác PEFQ nội tiếp .
b. FM là tia phân giác của góc NFM.
c. NE.QL = QN.EL .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Ta có :
$\widehat{MPQ}=90^{\circ}$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
$EF\perp MQ=> \widehat{EPQ}+\widehat{EFQ}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
=> Tứ giác PEFQ nội tiếp ( đpcm ) .
b. Ta có : $ \widehat{ENM}+\widehat{EFM}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
=> Tứ giác MNEF nội tiếp .
=> $ \widehat{PFQ}=\widehat{PEQ}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung PQ trong đường tròn đường kính EQ )
$ \widehat{NFM}=\widehat{NEM}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MN trong đường tròn đường kính ME )
$ \widehat{NEM}=\widehat{PEQ}$ ( 2 góc đối dỉnh )
$ \widehat{PFQ}=\widehat{MFK}$ ( 2 góc đối đỉnh )
=> $ \widehat{NFM}=\widehat{KFM}$ hay PM là tia phân giác của góc NFM .
Vậy PM là tia phân giác của góc NFM . ( đpcm )
c. Ta có :
$ \widehat{NPM}=\widehat{NQM}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MN trong đường tròn đường kính MQ )
$ \widehat{EPF}=\widehat{EQF}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF trong đường tròn đường kính EQ )
=> $ \widehat{NPE}=\widehat{EPL}$
=> PE là phân giác trong của $\triangle NPL$ . (1)
Mà : $PE\perp PQ$ => PE là phân giác ngoài của $\triangle NPL$ . (2)
Từ (1) , (2) => $\frac{EN}{EL}=\frac{QN}{QL}=> EN.QL=QN.EL$ ( đpcm ) .