2. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai cặp số (a; b) và (x; y):
$(ax + by)^{2}$ $\leq $ ($a^{2}$ + $b^{2}$)($x^{2}$ + $y^{2}$);
Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi ay = bx, hay $\frac{x}{a}$ = $\frac{y}{b}$ (khi ab $\neq $ 0).
Bất đẳng thức này mang tên nhà toán học người Nga Bu-nhi-a-cốp-xki (Viktor Bunyakovsky, 1804 - 1889).
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 2($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$ ;
b) $a^{4}$ + $b^{4}$ $\geq $ 2, biết rằng a + b = 2.
Bài Làm:
a) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1 ; 1) và (a; b)ta có:
($1^{2}$ + $1^{2}$)($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(1.a + 1.b)^{2}$ = $(a + b)^{2}$
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
Vậy 2($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$
b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1; 1) và ($a^{2}$; $b^{2}$) ta có:
($1^{2}$ + $1^{2}$)($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ $(1.a^{2} + 1.b^{2})^{2}$ = $(a^{2} + b^{2})^{2}$
Theo câu a: 2($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$ $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + $b^{2}$ $\geq $ $\frac{(a + b)^{2}}{2}$
$\Rightarrow $ 2($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ $\frac{(a + b)^{4}}{4}$ = $\frac{2^{4}}{4}$ = 4
$\Rightarrow $ ($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ 2.