Câu 2: Trang 16 sách VNEN 8 tập 2
Cho phương trình ẩn x: 1 - $\frac{2b}{x - b}$ = $\frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2} + x^{2} - 2bx}$ (a,b là tham số)
a) Giải phương trình theo b khi a = 3
b) Tìm a và b để x = 4 và x = 6 là hai nghiệm của phương trình.
Bài Làm:
a) Thay a = 3 vào phương trình ta có
1 - $\frac{2b}{x - b}$ = $\frac{9 - b^{2}}{b^{2} + x^{2} - 2bx}$
$\Leftrightarrow $ $\frac{x - b - 2b}{x - b}$ = $\frac{9 - b^{2}}{(x - b)^{2}}$
$\Leftrightarrow $ $\frac{(x - 3b)(x - b)}{(x - b)^{2}}$ = $\frac{9 - b^{2}}{(x - b)^{2}}$
$\Leftrightarrow $ (x - 3b)(x - b) = 9 - $b^{2}$
$\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - xb - 3xb + 3$b^{2}$ = 9 - $b^{2}$
$\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - 4xb + 4$b^{2}$ = 9
$\Leftrightarrow $ $(x - 2b)^{2}$ = 9
$\Leftrightarrow $ x - 2b = 3 hoặc x - 2b = - 3
$\Leftrightarrow $ x = 2b + 3 hoặc x = 2b - 3
b) Ta có: 1 - $\frac{2b}{x - b}$ = $\frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2} + x^{2} - 2bx}$
$\Leftrightarrow $ $\frac{x - b - 2b}{x - b}$ = $\frac{a^{2} - b^{2}}{(x - b)^{2}}$
$\Leftrightarrow $ $\frac{(x - 3b)(x - b)}{(x - b)^{2}}$ = $\frac{a^{2} - b^{2}}{(x - b)^{2}}$
$\Leftrightarrow $ (x - 3b)(x - b) = $a^{2}$ - $b^{2}$
$\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - xb - 3xb + 3$b^{2}$ = $a^{2}$ - $b^{2}$
$\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - 4xb + 4$b^{2}$ = $a^{2}$ (1)
Để x = 4 và x = 6 là nghiệm của phương trình thì x = 4 và x = 6 phải thõa mãn phương trình (1)
* Thay x = 4 vào (1) ta được: 16 - 16b + 4$b^{2}$ = $a^{2}$ (2)
* Thay x = 6 vào (1) ta được: 36 - 24b + 4$b^{2}$ = $a^{2}$ (3)
Lấy (2) - (3) theo vế: 16 - 16b + 4$b^{2}$ - 36 + 24b - 4$b^{2}$ = $a^{2}$ - $a^{2}$
$\Leftrightarrow $ 8b - 20 = 0
$\Leftrightarrow $ b = $\frac{20}{8}$
Thay b = $\frac{20}{8}$ vào (2) ta có: 16 - 40 + 25= $a^{2}$
$\Leftrightarrow $ $a^{2}$ = 1
$\Leftrightarrow $ a = 1 hoặc a = - 1
Vậy (a; b) = (1 ; $\frac{20}{8}$) , (- 1; $\frac{20}{8}$).